الأعداد الصاتمة أو الأعداد الصواتم، وهي التسمية العربية الفصيحة للأعداد الكبيرة أو العملاقة ما بعد الألف.
أساس الأعداد الصواتم هو العدد ألف 1000 الذي يبدأ بحرف الهمزة باعتباره أوّل حرف في الأبجدية العربية المرتّبة بطريقة أبجد هوز
لذا ستكون أسماء الأعداد كما يلي:
1000 ألف (أ)
1000,000 بلف (ب)
1000,000,000 جلف (ج)
1000,000,000,000 دلف (د)
...
...
10^36 لَلف (ل) = انديسيليون Undecillion
..
..
10^84 غلف (غ) = سيكيستليون فيجيتيليون = أو تريديكليون مربع
سمّيت الأعداد الصاتمة بهذا الاسم لأنّ كلمة صاتم تعني التام ف يُنظر للأعداد التي هي قوى العدد 1000 على أنها أعداد تامّة

ما هو الحشد؟

مجموعة من الناس مشتركون في الهوية والأهداف تتجاوز العشرين شخصًا، تجتمع في مكان واحد وزمان محدّد وهدف واحد، وكانت كثافتهم في المكان متساوية، ويتصرّفون بطريقة موحّدة.

إذن فالتجمّعات الدينية والرياضية والمظاهرات والمهرجانات جميعها تجذب الحشود، وأبرز الحشود في هذه الفترة هما الحجّ الإسلامي في مكة المكرّمة، وبطولة أمم أوروبا لكرة القدم في ألمانيا.

علم إدارة الحشود

يشمل مفهوم هندسة الحشود العديد من التخصّصات التي تعمل معًا من أجل فهم حركة الجماهير وتصميم بيئات آمنة للتجمّعات البشرية، ويجمع هذا المجال بين الهندسة المعمارية وعلم النفس وعلم الاجتماع وعلوم الحاسوب والرياضيات بالدرجة الأولى كما يمكن أن يشمل الفيزياء، والجيولوجيا، وعلوم المناخ، وتخطيط المدن، والشبكات.

أمّا إدارة الحشود هي جملة عمليّات التخطيط والإشراف على التجمّعات الجماهيرية في المناسبات والأحداث العامّة، وتبدأ من تقييم مكان التجمّع قبل انطلاق الحدَث (وفي بعض الأحيان تصميم المكان من الصفر) وتجهيزه من المدخل حتى المخرج، دون الاكتفاء بالإشراف على الجماهير في منطقة التجمّع فحسب، بل يشمل إدارة تدفّق الناس باتّجاه مكان التجمّع، وانتشارهم بعد الانتهاء.

التخطيط والإشراف على الحشود

في الغالب تكون ساحة التجمّع موجودة وما يمكن فعله عمرانيًا هو إجراء تعديلات على المداخل والمخارج، وهناك بعض الحالات التي يحالف المخططين فيها الحظّ ويستطيعون إنشاء المكان وتصميمه من الصفر مثل بعض ملاعب بطولة العالم في قطر 2022، أما في حالة الحج الإسلامي إلى مكة المكرمة فبالرغم من أنّ مشاريع توسعة الحرم مستمرّة على الدوام إلا أنّ مكان الكعبة المشرّفة ثابت ويجب الحفاظ على الكثير من المعالم حولها ممّا يعني مرونةً أقلّ في التخطيط والتعديل العمراني هناك.

كيف تستعدّ إدارة الحشد لعملها؟

قبل جميع الاستعدادات على أرض الواقع، يجب أن يسبق الحدَث دراسات ميدانية ونظريّة لكافّة الظروف المحيطة بالحدّث وجمهوره، حيث يجب:

• معرفة أهداف الحشد والخلفية التاريخية والثقافية له.
• معرفة أعداد الحشد وأوقات تجمّعه وأوقات فضّه.
• تحديد كافّة المعلومات الديموغرافية الممكنة عن الجمهور (الشرائح العمرية، الجنس، الجنسية، اللغة، الخ)
• الإحاطة بدرجة تجانس أفراد الحشد، ومدى توافق أو تعارض المجموعات الجزئية منه.
• معرفة حجم المجموعات الجزئية في الحشد ومستوى التفاعل فيما بينها.
• دراسة شاملة لطبوغرافيا المكان والمخطّطات العمرانية شاملةً المداخل والمخارج والطرقات والمواصلات والقدرة الاستيعابية لكلّ جزء منها، وحالة الطقس المتوقّعة أثناء الحدث.

كلّ هذه التحضيرات والمعلومات والدراسات يلزم لإعدادها فرق متخصّصة يرافقها فريق تقني يجيد إجراء المحاكاة الحاسوبية لكلّ السيناريوهات المحتملة واستخلاص التوصيات لإجراء تعديلات على البنى التحتية وخطط الإخلاء وغيرها.

تتمتّع الأحداث ذات الطبيعة التكرارية بأفضلية رائعة جدًا وهي أنّ إدارة الحشد لا تتطلّب اللجوء للمحاكاة الحاسوبية من أجل اكتشاف المشاكل والبحث عن حلول لها، حيث إنّ تكرار تنظيم الحدث يعطي كمية كبيرة جدًا من البيانات الحقيقية التي يمكن تحليلها بشكلٍ دقيق واستخلاص معلومات أكثر فائدةً من تلك المستخلصة عن طريق المحاكاة، وهذا ما نراه في مواسم الحجّ التي تتكرّر بنفس الأعداد كلّ عام بالإضافة إلى اعتبار مواسم العمرة نماذج مصغرة عن الحج، وكذلك البطولات الرياضية، والمهرجانات السنوية.

جمع بيانات الحشود

بما إنّ التخطيط لإدارة الحشد يحتاج دراسات فهذا يقودنا إلى السؤال كيف نحصل على بيانات كافية عن الحشد، سواء كان قبل الحدّث أو أثناءه؟

في المثالين الحاليين: الحج وبطولة ألمانيا، لدينا في كليهما كميات كبيرة من البيانات الموثوقة التي يمكن الاعتماد عليها في التخطيط، حيث تمتلك سلطات كلّ من السعودية وألمانيا بيانات عن المشاركين في الحدث لأنهم جميعًا حصلوا على تأشيرات رسمية تمّ جمع الكثير من المعلومات عن حامليها قُبيل دخولهم البلد.

أمّا أثناء الحدث فتوجد العديد من الوسائل لجمع المعلومات، أهمّها الأجهزة الذكية التي يحملها أفراد الجمهور، ثمّ لدينا كاميرات المراقبة المنتشرة في كلّ مكان، وكذلك الطائرات بدون طيار التي تغطي الأماكن المكشوفة.

أساليب إدارة الحشد

• أهمّ أسلوب هو النمذجة الرياضية، حيث توضع سيناريوهات محتملة ودراستها وتصميم حلول للمشاكل التي قد تنشأ.
• جمع البيانات من شبكات التواصل الاجتماعي من أفراد الحشد نفسه، حيث يمكن مراقبة الحشد كاملًا ومراقبة الأفراد فردًا فردًا من خلال ما ينشرونه عبر الشبكات الاجتماعية، وعبر الهندسة الاجتماعية يمكن الخروج بتنبؤات حول سلوك الحشد أو جماعة منه. يُذكر أن أسلوب الحصول على معلومات من الشبكات الاجتماعية يُستخدم أيضًا في رصد الزلازل والكوارث الطبيعية لأنّ الناس ينشرون تغريدات أسرع ممّا يمكن لوكالات الأخبار أن تنقل خبرًا ما.
• البنية التحتية القوية المتكاملة، وهذا الأسلوب يعتمد على جمع البيانات في الوقت الحقيقي عبر كاميرات المراقبة وأجهزة الاستشعار التي يمكنها أن ترصد بيانات لا تخطر في البال، مثل مستوى التعرّق لأفراد الحشد، هذا الأسلوب فعال جدًا لكنه الأعلى كلفة.

استراتيجيات وآليات إدارة الأزمات

تتوقّع الأمم المتحدة أن يناهز عدد سكان العالم العشرة مليارات نسمة في عام 2050 منهم 68% يقطنون المدن، ممّا يعني أنّ أي إعلان محل بقالة صغير عن تخفيضات في الأسعار سيؤدي إلى تكوّن حشدٍ ما، بالتالي يجب أن تكون هناك آليات متنوّعة لإدارة الأزمات، وهذه الآليات هي:

• تجنّب المخاطرة: فإذا كان هناك احتمال لوقوع حوادث وأضرار يجب إلغاء الحدث والتجمّع.
• نقل المخاطرة: أي تغيير مكان الحدث إلى مكان أكثر ملاءمة.
• التخفيف من المخاطرة: عبر اتّخاذ سلسلة من الإجراءات الرقابية.
• القبول بالمخاطرة: عند عدم إمكانية تطبيق أي ممّا سبق يجب الاستعداد لتبعات وقوع الحوادث وتهيئة الرأي العامّ لتقبّلها.

وبكل الأحوال يجب أن تكون خطة الطوارئ حاضرة أثناء الاستعداد لإدارة الحشود، وعناصر خطة الطوارئ هي:

• قوّة احتياطية من العناصر البشرية.
• نظام اتّصالات سريع وقوي وفعال.
• تحديد أخطر النقاط في الميدان وتشديد المراقبة حولها.
• معرفة سلسلة اتّخاذ القرارات.
• توفير خارطة طريق لحالات الطوارئ في متناول كلّ أفراد الفريق.

ما هي أسباب الحوادث؟

من أهمّ أساليب تجنّب الحوادث هي معرفة أسباب الحوادث السابقة ودراستها وتحليلها، حيث تحصل الحوادث نتيجة مجموعة أو سلسلة من الأخطاء في التخطيط والتصميم، ولا يُقصد بالتخطيط فقط التخطيط العمراني، بل تخطيط الحدث كله بما يشمل العمران وحتى التخطيط النفسي، ومن أسباب الحوادث البارزة:

• انهيار الهياكل والمنصّات المؤقتة.
• الأرضيات السيئة.
• تسلّق الحشد على المعدّات والهياكل والأسوار.
• الاندفاع والضغط على الجدران والأبواب.
• وجود مصادر للنار.
• عدم توزيع الحشد على مساحة الميدان بشكل متجانس.
• تعطّل البوّابات والجسور.
• عرقلة الحشود بالدخلاء مثل الباعة الجوّالين.
• سوء توزيع الحواجز ونقاط الدخول والخروج.
• عدم وجود دليل إرشادي أو وجود لافتات غير مفهومة.
• ضعف أنظمة المرور.
• فشل أنظمة الإدارة والتحكّم، وانقطاع الاتّصالات أو الكهرباء.
• وصول أعداد من الحشود تفوق الأعداد المتوقعة أو المخطّط لها.

في النهاية وبالنظر إلى المثالين الأحدث للحشود وهما الحج في مكّة المكرّمة وبطولة أمم أوروبا في ألمانيا، نجد أنّ أسباب الفشل في إدارة الحشود والحوادث التي رافقت الحدثين لم تكن غير متوقّعة، وما حصل كان بالإمكان تجنّبه عبر التخطيط السليم والاستفادة من التجارب السابقة في كلّ من الحدثين، حيث إنّ الحجّاج غير النظاميين لم يهبطوا من السماء إنّما دخلوا المملكة بشكلٍ رسميّ، فبياناتهم موجودة لدى السلطات المعنية، وكذلك الجمهور المشاغب في مباراة إنكلترا وصربيا معروف لدى القاصي والداني بإنّه من أكثر الجماهير شغبًا في العالم.

نُشر هذا المقال في موقع تلفزيون سوريا بتاريخ 11-07-2024 بعنوان "هندسة الحشود وتجمعات الجماهير.. الحجّ وبطولة أمم أوروبا نموذجاً"

لديك في هندسة الطيران أمران رئيسان هما: تصميم المركبات وحركتها، بالتالي فإنّ الرياضيات التي تلزم قريبة جدًا ممّا ندعوه "الرياضيات للفيزيائيين" وفي الطيران سيتمّ التركيز على ميكانيك الموائع بشكل كبير وستلزم المواضيع الرياضية التالية:

1- الجبر والهندسة التحليلية: لفهم الأسس الرياضية التي سترتكز عليها دراستك القادمة.
2- التفاضل والتكامل: لدراسة الحركة والقوى المؤثرة في الطائرات بما في ذلك دراسة معدلات التغيير، بالمناسبة مؤسس التفاضل والتكامل هو السيد نيوتن الذي وضع أسس الميكانيك الكلاسيكي.
3- المعادلات التفاضلية: وهي أمر أساسي جدًا في كلّ مواضيع الفيزياء، مثل الحركة (السرعة والتسارع) والحقول (الحقل المغناطيسي وحقل الجاذبية) والاهتزازات والأمواج (الصوت والهواء)
4- الإحصاء والاحتمالات: لتحليل البيانات وتقييم المخاطر.
5- الديناميكا الهوائية
6- التحليل العددي: الأساليب العددية في حلّ المسائل الهندسية التي لا يمكن حلّها تحليليًا (بالتفاضل والتكامل)

مفارقة الحلاق هي تساؤل منطقي لعالم الرياضيات والفيلسوف البريطاني برتراند راسل، طرحه ضمن نظريته المتعلقة بالمجموعات الرياضية.

لنفترض في مدينة ما يوجد "حلاق" يحلق فقط للأشخاص الذين لا يحلقون بأنفسهم،

السؤال: من يحلق للحلاق؟

المفارقة تقول أن الحلاق يحلق فقط للذين لا يحلقون لنفسهم، وإذا اعتبرنا أن الحلاق يحلق لنفسه، فهو بذلك سيكون قد حلق لشخص يحلق لنفسه

تبدو هذه المفارقة غير مهمة في هذا السياق، لكن عندما طرحها راسل لم يكن يقصد بها أحجية كلامية، بل كانت جزء من فهم نظرية المجموعات الحديثة في الرياضيات، فقد كادت هذه المفارقة تودي بفرع مهم من الرياضيات إلى الجحيم.

الموضوع ببساطة بدأ في نظرية المجموعات الساذجة، حيث تقول إنّ المجموعة هي مجرّد تجمّع لعناصر لديها شرط ما، لذا فإنّنا حرفيًا نستطيع تكوين مجموعة من أي شيء نريده مثل مجموعة الأقلام الخضراء أو مجموعة الجوارب الخضراء أو مجموعة ممتلكات يوسف وهكذا.

بعض هذه المجموعات هي عضو في نفسها وبعضها لا، مثلًا مجموعة الموز الأصفر ليست عضو في ذاتها، لكن مجموعة كل ما هو ليس موز أصفر هي عنصر من نفسها.

لنرفع مستوى التعقيد قليلًا، ولنشكّل مجموعة كل المجموعات التي لا تنتمي لأنفسها.
السؤال: هل تنتمي هذه المجموعة لنفسها أم لا؟
وهذا يقودنا إلى تناقض الحلاق

بالمناسبة، فإنّ تناقض الحلاق له الكثير من الأشكال، مثل تناقض بونيكيو الدمية الخشبية ذات الأنف الطويل الذي يطول كلما كذب كذبة جديدة، حيث يقول سوف يزيد طول أنفي بعد قليل، هل سيزيد أم لا؟

حل مشكلة نظرية المجموعات الساذجة كان عبر مسلمة زيرميلو – فرينكل – Zermelo-Fraenkel axiomatisation
وهي أنه لو أعطيت شرطًا ما، يمكنك دائمًا خلق مجموعة من خلال جمع العناصر التي تتبع هذا الشرط بدقة.
بدلًا من ذلك، تبدأ مع كيانات فردية، وخلق مجموعات منها، ثم العمل تصاعديًا.
وهذا يعني أنك لا يجب أن تفترض وجود مجموعة كل المجموعات، مما يعني أن ليس عليك محاولة تقسيم تلك المجموعات إلى المجموعات التي تحتوي على نفسها (تنتمي إلى نفسها) وتلك التي لا تنتمي لنفسها.
لديك فقط القدرة على تخليق هذا التقسيم لعناصر أي مجموعة معينة، والتي تكونت من كيانات فردية من خلال مجموعة من الخطوات.

أمّا حل مفارقة الحلاق فهو ببساطة، أن يكون الحلاق امرأة

ستة مسائل ولمدّة أربع ساعات تنافس فيها 619 طالب من 107 دول، اكتسحت في نهايتها الصين بست ميداليات ذهبية، وبرصيد 208 نقاط من أصل 252 نقطة، تلتها مباشرة في المركز الثاني روسيا بخمس ميداليات ذهبية، وفضية واحدة و183 نقطة.

استضافت سانت بطرسبرغ الروسية فعاليات أولمبياد الرياضيات الدولي الثاني والستين، وهذا الأولمبياد الثاني على التوالي الذي يُقام عند بُعد.

أسئلة الامتحان لعام 2021

كالعادة كانت ست أسئلة موزّعة على يومين، ينال الطالب 7 درجات لكلّ سؤال كامل، ويمكن أن تُجزّأ العلامة فينال من صفر حتى 7 درجات.

تناولت الأسئلة موضوعات من نظرية الأعداد والهندسة المستوية والتحليل الرياضي ونظرية المجموعات، وكانت من المستوى الصعب، حيث لم يحصل على العلامة التامة 42 درجة سوى طالب واحد فقط هو الصيني Yichuan Wang علمًا أنّ هذه المشاركة الأولى له في الأولمبياد (لا تحاول البحث عنه لأنّك ستحصل على الكثير من الأشخاص، يبدو أنّ هذا الاسم شائع جدًا في الصين).

وفيما يلي الأسئلة كاملةً باللغة العربية.

https://drive.google.com/file/d/1RfsMHDBvk_YhTOgHBPHvdlBsGqbQO2i0/view?usp=sharing

مشاركة الدول العربية

شاركت كل من: العربية السعودية - سوريا - مصر - العراق - الجزائر - المغرب - تونس - عُمان - موريتانيا

وقد حصلوا على النتائج التالية:

1. السعودية (المركز 38 عالميًا) وحصلت على فضية واحدة وثلاث برونزيات وميدالية شرف واحدة بمجموع 90 نقطة.
2. تونس (56) فضية وبرونزية وميداليتي شرف 57 نقطة.
3. سوريا (65) برونزيتين وميداليتي شرف 44 نقطة.
4. المغرب (75) ثلاث ميداليات شرف 33 نقطة.
5. الجزائر (89) بلا ميداليات 16 نقطة.
6. العراق (89) ميدالية شرف واحدة 16 نقطة.
7. موريتانيا (98) بلا ميداليات 7 نقاط.
8. مصر (103) بلا ميداليات نقطتان.
9. عُمان (103) بلا ميداليات نقطتان.

بالنسبة للشرق الأوسط، فإنّ كلّ من تركيا وإيران و "إسرائيل" لا تغيب عن المنافسات دومًا، وتصدّر المنطقة "إسرائيل" في المركز السابع عالميًا بثلاث ذهبيات وفضيتين وبرونزية و139 نقطة، إيران حلت بالمركز 29 بثلاث فضيات وصلاث برونزيات، وتركيا حلت بالمركز 35 بفضية وخمس برونزيات.

تعريف العدد الأولي: هو عدد طبيعي يقبل قاسمين مختلفين فقط هما العدد واحد والعدد نفسه.

يوجد تعريف آخر: هو عدد طبيعي أكبر تماما من واحد ولا يمتلك قواسم سوى نفسه.

في كلا التعريفين وهما متكافئين (وبرأيي إنّ التعريف الثاني هو إعادة صياغة فقط وليس تعريفًا مستقلًا) نجد أنّ واحد لا يحقّق التعريف.

إذن: العدد واحد ليس أوّليًا، كما أنّه ليس عددًا مركّبًا، ولا أقصد بالعدد المركّب في هذه الحال العدد العقدي إنّما العدد الذي يُكتب بشكل جداء عددين آخرين مثل 6=3×2

لماذا؟ حسب التعريف.

وهذه هي الإشكالية الأساسيّة في طرح هذا التساؤل مرارًا وتكرارًا، أقصد أنّه بسبب التعريف خرج العدد واحد من مجموعة الأعداد الأولية، وأنا أجد أنّ غير المختصّين يجدون صعوبةً في تقبّل التعريف بشكلٍ عامّ، لكن يغيب عن أذهانهم أنّ كثيرًا من المفاهيم التي نستخدمها يوميًا هي أمور اصطلحنا عليها بهذا الشكل أي إنّها محدّدة بتعريف يشبه تعريف العدد الأوّلي، مثل تعريف الكيلوغرام والمتر وغيرها من الثوابت الفيزيائية.

الجزء الآخر من الإشكالية لماذا هو ليس أوليًا وليس مركبًا، هو أيضًا بسبب التشويش في قراءة التعريف، وهو بالضبط إضافة شروط غير موجودة في التعريف دون قصد، وهنا يفترض البعض أنّ الأعداد يجب أن تنقسم بين أوّليّ ومركّب، لكن ما من شيء في التعريف يشير إلى هذا الفرض، وهذا أيضًا يشبه إشكالية العدد صفر، حيث يدعو البعض إلى اعتباره عددًا موجبًا بينما الآخرون يعتبرونه سالبًا، بينما الحقيقة أنّه ليس موجبًا وليس سالبًا، فليس بالضرورة أن يكون كلّ عدد إما موجبًا أو سالبًا.

فاز اثنان من روّاد نظرية الحوسبة Theory of Computation بجائزة أبيل لعام 2021 ، وهي واحدة من أعرق الجوائز في الرياضيات.

أعلنت الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب في 17 آذار مارس الحالي:

سيتقاسم عالم الرياضيات المجري لازلو لوفاش وعالم الكمبيوتر "الإسرائيلي" آفي ويغدرسون الجائزة التي تبلغ قيمتها 7.5 مليون كرونة نرويجية (886000 دولار أمريكي)، لمساهماتهما في علوم الكمبيوتر النظرية والرياضيات المتقطعة، ودورهما الرائد في تشكيل هذه الميادين في المجالات المركزية للرياضيات الحديثة.

علّق لوفاش الذي يعمل في جامعة Eötvös Loránd في بودابست: "أصبح من الصعب اليوم -وأعتقد أنه تطور جيد- التمييز بين الرياضيات البحتة والرياضيات التطبيقية".

أمّا ويغدرسون قال في تصريحه لمجلة نيتشر: "إنّ الجائزة تثبت صحّة نظرية الحوسبة وليس فقط أعماله عليها، وهذا مهمّ جدًا لهذا المجال من الأبحاث".

نظرية الحوسبة (المعروفة أيضًا باسم نظرية الأوتوماتا) هي فرع نظري لعلوم الكمبيوتر والرياضيات، والتي تتعامل بشكل أساسي مع منطق الحساب فيما يتعلق بالآلات البسيطة، وتأتي كلمة أوتوماتا Automata من Automaton أي الإنسان الآلي، وهي متعلّقة بشدّة بالأتمتة Automation وتتيح للعلماء فهم كيفية حساب الآلات للوظائف وحل المسائل، وكان الدافع الرئيسي وراء تطوير نظرية الأوتوماتا هو تطوير طرق لوصف وتحليل السلوك الديناميكي للأنظمة المتقطعة.

يُذكر أنّ جائزة عام 2020 ذهبت باتّجاه قريب حيث حصل عليها عالمان وصفتهما نيتشر بأنّهما "العالمان اللذان أوجدا النظام من الفوضى" وهما "الإسرائيلي" هيليل فورستنبرغ والروسي الأمريكي غريغوري مارغوليس، حيث وصفت الأكاديمية النرويجية سبب منحمها الجائزة "الريادة في استخدام طرق الاحتمالات والديناميكيات في نظرية المجموعات ونظرية الأعداد والتوافقيات"

إنّها بالفعل كذلك.

أنا مثلك بالفعل أرى الرياضيات سهلة، بينما يراها الكثيرون والغالبية العظمى من الناس صعبةً، وبالرغم من أنّ التوسّل بالأكثرية هو خطأ منطقي، لكن سأخاطر وأقول إنّ رؤية غالبية الناس للرياضيات بأنّها صعبة يؤكّد صعوبتها، وذلك لأنّ السهولة والصعوبة هي أمرٌ نسبيّ، بالتالي نستطيع استبيان آراء البشر حولها.

أما لو قال نفس الأشخاص بنفس النسبة السابقة إنّ الرياضيات مخطئة في قضية ما، ف لن آخذ بآرائهم، لأنّ الخطأ والصواب في الرياضيات ليسا نسبيّان بالعموم (يحتاج الأمر لتفصيل مستفيض حول النسبية في الرياضيات).

إذن، الرياضيات صعبة، لذلك يراها الناس على حقيقتها الصعبة، لكن لماذا هي صعبة؟

في الحقيقة توجد عدّة أسباب لذلك، أوّلًا البناء المنطقي الصارم للرياضيات يُعدّ من أهمّ العوامل التي تجعلها صعبة الفهم أو الممارسة، مثلًا انظر إلى هذا الرباعي

لو لم أكن رياضيًا لقلتُ إنّه مربّع، حتّى المهندسون قد يخطئون ويقولون إنّه مربّع، ف هم يثقون بحواسّهم أكثر من الرياضيين، وقد تجد شخصًا يحاول أن يكون أكثر دقّة من الآخرين فيقول إنّه مستطيل (وبذلك يشمل المربّع لأنّه حالة خاصّة من المستطيل) فإنّي أرى استطالة في أحد أبعاده أكثر من الآخر، لكن وللأسف هذا الشكل بالنسبة للرياضي ليس مربّعًا وليس مستطيلًا وليس متوازي أضلاع، إنّه بالنسبة لي شبه منحرف قائم، فهو يحوي ضلعين متوازيتين فقط، ونحن لا نعتمد على النظر أبدًا في البراهين، ولا حتى على القياس بأدوات القياس (إلا في حالات خاصّة عندما يكون الدرس بالأصل عن استخدام أدوات القياس) فأدوات القياس من اختصاص الفيزيائيين، والنظر من اختصاص الفنانين، أما نحن فنعتمد البراهين الرياضية والمنطقية والمتسلسلة.

إذن أوّل صعوبة في الرياضيّات هي أنّها تضرب عرض الحائط بحواسك.

ليس الحواسّ كالنظر فقط، بل حتّى الحواسّ الرياضيّة (لو كانت هناك حواسّ رياضيّة)

انظر إلى هذا التمرين

بنظرة أوّليّة قال البعض إنّ قيمة c تساوي 2 وقيمة a,b هي 1,5 على الترتيب، لكن عند المقارنة مع الجدول الأيسر، نكتشف الخطأ، بل ويقرّر بعض التلاميذ أنّ التمرين خاطئ، لكن مجدّدًا لا يوجد خطأ وكلّ مافي الأمر أنّ الحدس خاننا، ويجب أن نتبّع الطريقة الرياضيّة النموذجية للحلّ وهي تشكيل المعادلات وحلّها حلًّا مشتركًا، ومنه سنكتشف أنّ قيم المجاهيل ليست أعدادًا صحيحة بل كسرية والسؤال صحيح.

ثانيًا، الممارسة ثمّ الممارسة ثمّ الممارسة

يظنّ الكثيرون أنّ ما نتلقّاه في المدرسة كافٍ لتعبيد طريق الرياضيّات، بل ويقارنها باللغة العربية مثلًا ويقول لدينا حصص مدرسية للرياضيات واللغة العربية بقدرٍ متساوٍ فلماذا تحصيلنا في اللغة العربية أعلى منه في الرياضيات؟

يا سيّدي هذا كلامٌ منقوص، فأنتَ تمارس اللغة العربية في كل أركان حياتك ولو أنّها ليست اللغة العربية الفصحى، إلا أنّك حين تقرأ تعليمات استخدام الدواء تقرأها بالعربية وليس بالرياضيات، بالطبع أنت تمارس الرياضيات دون أن تشعر في كثير من جوانب الحياة، لكنّك تمارس جزءًا بسيطًا جدًا جدًا يُسمّى الحساب (وسأعود لهذه النقطة بعد قليل) والنكتة في هذا الأمر ليست أنّ الحساب جزء صغير جدًا فحسب، بل إنّ هذا الجزء على ضآلته في طريقه للاضمحلال بسبب الآلات الحاسبة.

لو أردت تعلّم العزف على البيانو مثلًا، هل ستكتفي بحصص الموسيقا مع مدرّس الموسيقا؟ ولو أردت أن تصبح لاعب كرة سلة ماهر برمي الرميات الحرّة هل ستكتفي بحصص التدريب مع الفريق؟ في كلا المثالين الجواب لا، لأنّ التدريب الذي تتلقاه مع المجموعة لن يميّزك بشيء وما يميّزك هو التدريب الذي تنجزه فيما بعد بمفردك سواء في الموسيقا أو الرياضية أو الطبخ أو غيره، وكذلك الأمر ينطبق على الرياضيات.

فالصعوبة الثانية في الرياضيّات هي أنّها مثل أيّة مهارة حياتيّة بحاجة للممارسة وليست موهبة محضة.

ثالثًا، هل يمكنك تخيّل حجم الرياضيات؟

حتّى الرياضيين أنفسهم لا يعرفون كم هو حجم وامتداد الرياضيات، توقّف قبل أن تهزأ بي، فأنا أيضًا لا أعلم حجم الرياضيات لكني لا أدّعي أنّي أعرفه، بل أقول إنّها أكبر مما تتخيّله، فالرياضيات بحجم الكون، وحيثما وُجد الكون وُجدت الرياضيات، فالرياضيات ليست اختراعًا بشريًا (هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟ سابقة أم لاحقة للوجود الإنساني!)

الرياضيات وعلى عكس ما يعتقد الكثيرون في تجدّد مستمرّ، فهي لا تقتصر على نظريات فيثاغورس وإقليدس والتكامل والتفاضل، هناك فروع كبيرة في الرياضيات لا نسمع عنها شيء في المدارس مثل التبولوجيا (إجابة ‏راغب بكريش (Ragheb Bakrich)‏ على ما هي الطوبولوجيا؟) ونظرية الألعاب ونظرية البيان والهندسات اللاإقليدية، هل تعلم أنّ هناك ما يُسمّى بهندسة سيارة الأجرة، هناك أكثر من سبعين مسألة في الرياضيات غير محلولة، من بينها سبع مسائل إن حللت إحداها تحصل على مكافأة مليون دولار.

هل سمعت بالكومبيوتر الكمومي جوجل تزعم إحراز السيادة الكمية على العالم

هذا الكومبيوتر الذي أنتجته جوجل ويوجد أجهزة شبيهة له في مؤسسات أخرى مثل IBM وربما بعض الحكومات بشكل سري، يعتمد مبادئ مختلفة عن الكومبيوتر التقليدي الذي يعتمد البوابات المنطقية (بالمناسبة هي جزء من الجبر يسمى الجبر البولياني)، المهمّ هذا الكومبيوتر الخارق يعتمد مبادئ الفيزياء الكمومية التي تمنحنا إمكانية تخزين المعلومات في "الكيوبت" بدلًا من "البت"، الموضوع معقّد لكنّ نتيجته أنّ الحاسوب الكمومي يستطيع إنجاز ما ينجزه الحاسوب التقليدي الخارق خلال آلاف السنين من العمل المتواصل في عدة دقائق فقط.

ما هو بيت القصيد هنا؟ إنّ العلماء يسخّرون مفاهيم فيزيائية "تحت ذرّية" تُدرس ضمن الفيزياء ما دون الذرية أو الفيزياء النووية (بالمناسبة يشكّ في وجودها شريحة لا بأس بعددها من الناس) وهذه المفاهيم والجسيمات تكلّف ملايين الدولارات من أجل رصدها ودراستها، لكن يُستعان بالرياضيات في دراستها والاستفادة منها ضمن ما يُسمى اليوم "الفيزياء النظرية" التي تعتمد بدلًا من المخابر في اختبار وتجريب الفرضيات والوصول إلى نظريات معتمدة تعتمد على الكائنات الرياضية، حيث وفّرت الرياضيات مثلًا فضاء بأحد عشر بعدًا مناسب لتطبيق نظرية الأوتار الفائقة بدلًا من الأبعاد الثلاثة المتوفرة بين أيدينا (حتى البعد الرابع الزمن هو كائن رياضي).

فالصعوبة الثالثة هي حجم الرياضيات الهائل الذي لا يمكن الإحاطة به.

طوّر باحث في معهد روتشستر للتكنولوجيا طريقة رياضية تُظهر أن تغيّر المناخ تسبّب على الأرجح في صعود وسقوط حضارة قديمة.

في مقال نُشر مؤخّرًا في مجلة Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science وضّح "نيشانت مالك" الأستاذ المساعد في كلية RIT للعلوم الرياضية، التقنية الجديدة التي طوّرها وأظهر كيف أدّى تغيّر أنماط الرياح الموسمية إلى انهيار حضارة وادي السند، وهي حضارة من العصر البرونزي معاصرة لحضارات بلاد ما بين النهرين ومصر القديمة.

طوّر مالك طريقة لدراسة السلاسل الزمنية للمناخ القديم، وهي مجموعات من البيانات تخبرنا عن المناخ في القرون الماضية باستخدام المشاهدات والملاحظات غير المباشرة، مثلًا، من خلال قياس وجود نظير معيّن في الصواعد من كهف في جنوب آسيا، تمكّن العلماء من كتابة سجلّ لهطول الأمطار الموسمية في المنطقة على مدار 5700 عام الماضية.

لكن ينوّه مالك قائلًا إنّ دراسة السلاسل الزمنية للمناخ القديم تطرح العديد من المشاكل التي تجعل من الصعب تحليلها باستخدام الأدوات الرياضية المستخدمة عادةً لفهم المناخ.

قال مالك: "عادة ما تكون البيانات التي نحصل عليها عند تحليل المناخ القديم عبارة عن سلسلة زمنية قصيرة مشوّشة وغير دقيقة"، وأضاف "فيما يتعلّق بالرياضيات والمناخ فإنّ الأداة التي نستخدمها كثيرًا في فهم المناخ والطقس هي الأنظمة الديناميكية، ولكن من الصعب تطبيق نظرية الأنظمة الديناميكية على بيانات المناخ القديم. فيمكن لهذه الطريقة الجديدة أن تكتشف التغيّرات في سلاسل زمنية صعبة وتشكّل تحديُا بما في ذلك سلاسل المناخ القديم حتى لو كانت قصيرة ومشوّشة وغير دقيقة".

هناك العديد من النظريات حول سبب تراجع حضارة وادي السند -بما في ذلك الغزو من قبل القبائل الهندوآرية والزلازل- ولكن يبدو أنّ تغيّر المناخ هو السيناريو الأكثر ترجيحًا الآن.

ولكن قبل أن يطبّق مالك نهجه الهجين المعتمد على الأنظمة الديناميكية والتعلم الآلّي ونظرية المعلومات، لم يكن هناك دليل رياضي، فقد أظهر تحليله أنّه كان هناك تغيّر كبير في أنماط الرياح الموسمية قبل ازدهار هذه الحضارة مباشرة وأنّ تلك التغيّرات عكست مسارها قبل تدهور الحصارة، ممّا يشير إلى أنّ تغير المناخ في الواقع هو الذي تسبّب في سطوع نجم هذه الحضارة وأفوله على حدٍّ سواء.

وقال مالك إنه يأمل في أن تسمح الطريقة للعلماء بتطوير المزيد من الأساليب الآلية للعثور على التغيّرات في بيانات المناخ القديم وأن تؤدّي إلى اكتشافات تاريخية مهمة إضافية.

نُشر النص الكامل للدراسة في Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.

المصدر https://phys.org/news/2020-09-mathematical-method-climate-fall-ancient.html

توصّلنا في المقال السابق عن طبيعة الرياضيّات هل هي اكتشافٌ أم اختراع، إلى أنّ الرياضيّات موجودة منذ الأزل، لدرجة أنّ الديناصورات قد اكتشفتها متأخّرةً جدًا، وقلنا طالما الأمر هكذا فأين هي الرياضيات من حولنا؟

أوّلًا، علينا استيعاب صفة غاية في الأهمّيّة من صفات الرياضيّات وهي المثاليّة المطلقة، بينما العالم من حولنا يختلف قليلًا، فحيث أنّ إجابة أيّ سؤال يصادفنا في الرياضيّات ستكون إمّا خاطئة أو صحيحة، فإنّ الحياة تمنحنا الكثير من المساحة لنراوِح فيها، وقد تعلّمنا أنّه لا يمكن تصنيف كلّ ما حولنا على أنّه إما صحيح أو خاطئ، فالترتيب الظاهري للأحداث في محيطنا هو متوسّط نتائج ملايين الحوادث الصغيرة والتي تتّصف غالبيّتها بالعشوائيّة، وهنا تأبى الرياضيات رغم مثاليّتها أن تتركنا تائهين في هذا المحيط المليء بأحداثٍ عشوائيّة، بل ربّما كانت المثاليّة هي الدافع لتمسك الرياضيّات بزمام الأمور وينشأ لدينا فرعٌ واسع من فروع الرياضيات وهو الاحتمال.

لا يمكن أن يمرّ يومٌ دون استخدامنا للاحتمال والاعتماد على نتائج احتماليّة، ولا أقصد استخدامنا لكلمة “احتمال” ومشتقّاتها، بل أقصد الاحتمال الرياضيّ بحدّ ذاته، فإمّا أن تراقب الطقس أو تراقب أسعار الأسهم أو سعر عملةٍ ما أو تسمع خبرًا عن دواءٍ ما وكلّ هذه الحوادث تعتمد بشكلٍ أساسي على استخدام الاحتمال بشكلٍ خاصّ والرياضيات عمومًا.

الاحتمالات أبسط الأشياء

بالرغم من استخدامنا شبه اليومي لمفاهيم الاحتمال، والتي تتعلّق مباشرةً بفرع واسع جدًا من الرياضيات هو الإحصاء، والذي يجاهد الاقتصاديّون لجعله فرعًا من فروع الاقتصاد، بينما يحاول بعض الإحصائيين الانشقاق عن الرياضيّات والادّعاء بأنّ الإحصاء علمٌ مستقلّ، مع ذلك ومهما كانت نتيجة هذا الصراع النظريّ، فإنّ مفاهيم الإحصاء والاحتمال هي مفاهيم رياضيّة وهنا تسجّل الرياضيّات نقطة حضور لمن يسأل أين نجد الرياضيّات.

يسرّني أن أخبركم بأنّ كلّ ما سبق نقطة في بحر الآتي، هل سمعتم بفرع اسمه “نظريّة البيان” Graph Theory وهي تدرس خواصّ المخطّطات البيانيّة، حيث تُمَثَّل مجموعة من الكائنات المترابطة بعلاقاتٍ ما بنقاط، تصل بين هذه النقاط خطوط أو أسهم.

نشأة نظرية البيان

كانت البداية على يدّ الرياضيّ المبدع أويلر 1736 الذي وضع نهايةً لمسألة تسمى مسألة جسور كونيغسبرغ والتي أثبت فيها أنّ حلّ تلك المسألة مستحيل وهي باختصار أنّ قرية كونيغسبرغ تحوي عدة جسور وجزر في النهر، والمطلوب المرور على كل الجسور مرة واحدة دون تكرار، من الواضح أنّ البداية كانت للتسلية وهذا ما تكلّمنا عنه في مقال “أهمية الرياضيات البحتة“، واستمرّت التسلية لزمنٍ طويل، وابتُكرت مسائل عديدة مثل مسألة الحصان في رقعة الشطرنج والذي يجب أن يمرّ على جميع الخانات في الرقعة دون تكرار، ثمّ واحدة من أهمّ المسائل في تاريخ الرياضيّات والتي لم تُحلّ حتى اليوم وهي مسألة البائع المتجوّل.

اليوم تُدرس نظرية البيان من قبل علماء الرياضيات وعلماء الكمبيوتر، ولديها تطبيقات مثيرة للاهتمام، مثلًا فيسبوك هو في الأساس رسم بياني ضخم واحد، فيمكن اعتبار كل مستخدم “نقطة”، تتصلّ بخطوط مع نقاط أخرى، تمثّل كلّ منها صديقًا، والخطّ هو علاقة الصداقة، يسمح هذا التجريد الرياضي لفيسبوك بالقيام بأشياء مثل إظهار الاتصالات من الدرجة الثانية (أصدقاء الأصدقاء).

كما تعد الرسوم البيانية (داخل نظرية البيان وليست تلك المستخدمة في التفاضل والتكامل) أيضًا طريقة مفيدة لتنظيم أشياء مثل تطبيقات GPS، حيث تسمح لك عند تحويل الخريطة إلى نقاط وخطوط بالعثور على أقصر مسار على طريق بين نقطتين داخل مدينة مكتظة بالأبنية، وهو ما بات يُعرف فيما بعد بـ “هندسة سيارة الأجرة“، حيث تضطرّ هناك للتخلّي عن واحدة من بديهيّات الرياضيّات التي تعلّمناها في المرحلة الابتدائية وهي أنّ أقصر مسار بين نقطتين هو الخطّ المستقيم، حيث من الممكن أن يصبح مضلعًا أو منحنيًا.

نوعٌ آخر من الهندسات

بطريقةٍ أو بأخرى سنجد أنفسنا في أحد التطبيقات الحاسوبية كلّما بحثنا عن تطبيقات رياضيّة، وهذه المرّة مع “الهندسة الوصفيّة“، هذا القسم المنسي من الرياضيّات، والذي يعرفه جيّدًا طلّاب كلّيّات الهندسة ومعاهدها، كما أنّهم يصنّفون هذه المادّة كأصعب الموادّ الدراسية، وذلك لاعتمادها على المساقط متعدّدة الاتّجاهات، والطريف أنّ مؤسّس هذا الفرع من الرياضيات هو غاسبار مونج ذاته مؤسس مدرسة الفنون التطبيقية في باريس، وشأنه شأن نيوتن الذي أسس فرع التفاضل والتكامل كأثر جانبي لدراسته في الفيزياء النظرية، كانت الهندسة الوصفية ناتجًا جانبيًا لعمل مونج في تدريس الفنون حيث كان بحاجة ماسّة في نهاية القرن الثامن عشر لطريقة فعّالة لنقل الأشكال ثلاثيّة الأبعاد إلى الورق ذي البعدين.

اليوم لم يعد المهندسون بحاجة ماسّة لممارسة هذا النوع من الأعمال لأنّ الحواسيب تقوم بالمهام على أكمل وجه، لكن مبدأ عملها قائم على ما أسّسه مونج، ليس هذا فحسب بل إنّ كلّ ما تراه على الشاشات التي تحيط بك من كلّ جانب تعتمد بشكلٍ رئيس على الهندسة الوصفية التي تُدعى أحيانًا الهندسة الإسقاطيّة، فبفضلها نحن اليوم نشاهد على شاشاتنا المسطّحة أشكالًا لا نشكّ أبدًا بأنّها ثلاثيّة الأبعاد.

جميعنا نعرف الثورة التي أحدثتها الطابعات ثلاثية الأبعاد، وهذه أحد تطبيقات الهندسة الوصفية لكن بشكلٍ معاكس، حيث تعيد تشكيل المساقط ثنائية الأبعاد لتنتج منها أشكالًا مجسّمة، وذلك بعمليّة تبدو بسيطة فما على المستخدم إلا تزويد البرنامج بصور (ثنائية البعد) يلتقطها بكاميرا هاتفه، من كافّة الاتّجاهات، وسيتولّى الحاسوب تحويلها عبر سلسلة من الإسقاطات إلى تمثيلٍ تستطيع الطابعة ترجمته إلى منحوتة مجسّمة.

لو أردنا سرد المجالات التي تدخّلت فيها الرياضيات بشكلٍ مباشر أو غير مباشر فلن ننتهي أبدًا، لكن اخترتُ المواضيع السابقة لأنّها ذات أثرٍ كبير ويوميّ ومع ذلك فهي منسيّة، وهذا ممّا قد يُشعر المشتغلين بها بالغيظ، بسبب عدم تقدير أعمالهم، مع ذلك فإنّ هناك العديد من المواضيع التي تجعل الرياضي يبكي، والتي قد أفرِدُ لها مقالًا خاصًا.

نُشر هذا المقال في أراجيك بتاريخ 10.06.2020

ناقشنا في مقالٍ سابق السؤال “ما أهمّيّة الرياضيات البحتة؟” وقد توصّلنا إلى أنّ الحياة بشكلها الحالي ستكون مختلفة جذريًّا عمّا ستكون عليه لو لم يدرس الإنسان الرياضيّات البحتة، عدا عن المتعة الذهنية الكبيرة التي يشعر بها علماء الرياضيّات والدارسون للرياضيّات من أجل الرياضيّات، وهذا أوصلنا إلى سؤالٍ جوهريّ وهامّ هو “هل اخترع الإنسان الرياضيّات أم اكتشفها؟”.

الفرق بين الاكتشاف والاختراع

بدايةً علينا معرفة الفرق بين الاختراع والاكتشاف، حسب تعريف جامعة برلين الحرّة، فالاكتشاف يتعلّق بشيءٍ كان موجودًا بالفعل في وقت الاكتشاف، ولكنه لم يكن معروفًا من قبل، ويمكن القول إنّ الاكتشاف هو الوصف الأوّل لقانون طبيعي، ويمكن ملاحظة أنّ أثر الاكتشاف المباشر ينحصر في زيادة المعرفة الإنسانيّة.

أمّا الاختراع فهو ابتكار شيء جديد تمامًا بأفكاره وتطوّره، وتميل النظرة العامّة في العصر الحالي لحصر مفهوم الاختراع بالأشياء الملموسة وعدم الاعتراف بالاختراعات النظريّة وإلّا فإنّه لزامًا علينا أن ننسب اختراع الطائرة والمروحيّة والمظلة لدافنشي الذي رسم تصاميم لهذه الأشياء قبل اختراعها الفعلي، لكن يندرج في إطار الاختراعات كلّ ما نراه اليوم من تقنيات تشمل الاتّصالات والبرمجيّات رغم أنّنا لا نستطيع إمساك الشيفرة البرمجيّة أو أمواج الواي فاي.

بناءً على ما سبق فإنّ الكهرباء اكتشاف، لكن المصباح الكهربائي اختراع، فالكهرباء موجودة مذ تكوّنت الذرّات، لكن كان على شخصٍ ما أن يحكّ الصوف بالكهرمان ليكتشف أنّ الكهرمان قد جذب الريش، فكلّ من الكهرمان والريش والصوف بما فيها مكوّناتها الذرّيّة وتحت الذريّة موجودة وكانت تتجاذب وتفرغ شحناتها عند توفّر الظروف الملائمة، ولم تغيّر معرفتنا بهذا القانون الطبيعي من طريقة سير الطبيعة، لكن زادت معارفنا، معارفنا التي ستتراكم مئات السنين ويأتي في النهاية أديسون ليقدّم المصباح الكهربائي، الذي ركّب القوانين الطبيعيّة بطريقة لم تكن موجودة سابقًا داخل منظومة أدّت لتوهّج المصباح.

كم ديناصورًا لديك؟

ولنأتي للرياضيّات فإنّ الإجابة تعتمد على فكرتنا حول المفاهيم الرياضيّة؛ فيعتقد البعض أنّ المفاهيم الرياضيّة بمثابة الأدوات التي أنشِئت استجابةً للتعامل مع الأسئلة التي لم تُحلّ بعد، كما اختُرع المحراث الذي كان ضروريًا لحلّ مشكلة تهوية التربة، بينما يرى آخرون أنّ الرياضيات حقيقة موجودة مسبقًا بغضّ النظر عمّا إذا كنّا نرى ذلك أم لا، أي لم يخترع علماء الرياضيات الحلول للمشكلات بل كانوا يكتشفونها فقط، مثل اكتشاف الإنسان للزراعة.

في الحقيقة أنا أميلُ للفكرة القائلة بأنّ النماذج الرياضية موجودة على كوكبنا قبل ظهور الحياة عليه بل قبل تشكّل الكرة الأرضية؛ فعندما كانت الشمس وكواكبها مجرّد سحابة من الغبار والغاز، تطوّرت النجوم والمجرّات والكواكب الأخرى وكوّنت تشكيلات وتحرّكات وفق مبادئ الهندسة البسيطة والأشكال الهندسية التي نعرفها اليوم؛ فكانت تتحرّك المجرّات وداخلها النجوم والكواكب عبر مسارات بشكل قطوع ناقصة يمكن التعبير عنها بمعادلات تعلّمناها في المرحلة الثانوية، وكانت تمتلك بعض المجرّات أشكالًا لولبيّة يمكن تمثيلها بمعادلات لوغاريتمية، كما امتلكت كلّ الأجسام تلك كتلًا وحجومًا يمكن حسابها بقوانين حجم الكرة وما شابهها.

ويذكر العلماءُ أيضًا مثالًا طريفًا وهو أنّه عندما كانت الكرة الأرضية في الطرف الآخر من مجرّة درب التبّانة أي منذ حوالي مئة مليون عام، انضمّ ديناصورٌ إلى مجموعة من ثلاثة ديناصورات فأصبحوا أربعة ديناصورات، وأثناء لعبهم أطلّ عليهم تيريكس عملاق يريد تناول أحدهم على الغداء، فركضت المجموعة، ديناصوران اثنان في كلّ اتّجاه، ولا نعرف ما الذي حصل فيما بعد لأنّ راوي القصّة قال إنّ 1+3 يساوي 4 و 4/2 يساوي 2 سواءٌ أنجز هذه العمليات الحسابية إنسانٌ ما أم لم ينجزها، أي أنّ هذه العمليات الحسابية كانت موجودة وصحيحة قبل أن يوجد الإنسان.

طالما الأمر بهذه البساطة والوضوح، لماذا كلّ هذا الجدل إذًا؟

يتحمّل القاموس الذنب الأكبر بهذا الخصوص، لأنّه عرّف الرياضيّات بإنّها “علمٌ مجرّد ينتج عن الاستنتاجات المنطقية المطبّقة على كائنات مختلفة كالمجموعات والأعداد والأشكال”، حيث تتركّز الإشكاليّة في كلمة “الاستنتاجات” ومعلومٌ أنّ الاستنتاجات المنطقيّة لا يقوم بها إلا البشر، وهذا يؤدّي بالضرورة للاعتقاد بأنّ الرياضيّات منتج عقلي بشري بحت شأنها شأن الفلسفة.

لكن ماذا بشأن إنسان الكهف الذي استخدم العدّ والعمليّات الأربعة، كجمع الغنائم بعد رحلة صيد وتقسيمها إلى حصص تتناسب ربّما مع الجهد المبذول أو مع رتبة الفرد ضمن مجموعته.

بالتأكيد فإنّ إنسان ذاك العصر لم يعرف الاستنتاج المنطقي أو الاستقراء الرياضيّ، وتبقى هذه الأمور مبادئ حسابيّة بسيطة، والحساب برمّته هو جزءٌ صغيرٌ جدًا من الرياضيّات ولا يمكننا تقزيم الرياضيّات لتصبح عدًّا وجمعًا وطرحًا فحسب.

ماذا بشأن الرياضيات الحديثة؟

لا يخفى على أحد أنّ بعض موضوعات الرياضيات، لا سيّما الموضوعات التي تعتمد على استخدام أنظمة العدّ هي بلا شكّ من اختراع الإنسان ولو أنّها شيءٌ ثابت في الطبيعة لما استخدمت بعض الحضارات النظام الستيني وبعضها الآخر النظام العشري، علاوةً على الكثير من أنظمة العدّ الحديثة الأخرى، لكن لا تعتمد أغلب موضوعات الرياضيات على هذا النوع من الإبداع البشري، بل كانت الرياضيات موجودةً قبل اكتشافها واستخدامها من قِبل البشر، ولنأخذ مثلًا نظرية فيثاغورس، فعلى الرغم من ارتباطها بعالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس لكنّها كانت قد اكتشفت مرّات عديدة مستقّلة من قِبل حضارات مختلفة ويُرجّح أنّ أولها كان في الصين، ولو دمّر نيزكٌ الحياة على أرضنا، فسوف تُكتشف نظرية فيثاغورس في المستقبل مرّة أخرى، بل أكثر من ذلك لو وُجدت صورةٌ أخرى من صور الحياة الذكيّة على أحد الكواكب البعيدة، فعلى الأغلب أنهم قد اكتشفوا أن مجموع مربّعي طولي الضلعين القائمتين في المثلث القائم يساوي مربع طول وتر ذاك المثلّث.

هذا يقودنا للتساؤل التالي “أين نجد الرياضيات في حياتنا؟” والذي سنجيب عنه في مقالنا القادم.

نُشر هذا المقال في أراجيك بتاريخ 02.06.2020

إنّ هذا السؤال يكافئ السؤال التالي: “لو حذفنا الرياضيات البحتة من عالمنا، هل ستستمرّ الحياة بشكلٍ طبيعيّ؟”.

لو أردنا الإجابة بكلمة واحدة، فالإجابة لا، لن تستمرّ الحياة كما نعرفها اليوم بدون الرياضيّات البحتة، بل يمكننا طرح أسئلة مشابهة مثل: ما أهمّيّة علم الفلك والتنقيب عن الآثار ورقص الباليه وتربية قطّة في المنزل.. إلخ؟ ما أهمّيّة كلّ هذه الأشياء؟ وهل ستتوقّف الحياة بدونها؟

في الحقيقة إنّ العالم الذي نراه ونعيش فيه اليوم هو نِتاج كلّ هذه العلوم والفنون والأشياء التي قد تراها تافهةً، ولو غاب عنه عنصرٌ واحد فربما لم نكن نجلس في مكاننا اليوم ونقرأ هذه السطور، أو العكس تمامًا ربّما سنكون في عالمٍ أكثر تطوّرًا وازدهارًا ممّا عليه الآن، لكن مع ذلك فإنّ للرياضيّات البحتة حصّة الأسد من التأثير في كافّة العلوم التي ستؤثّر بدورها على نمط حياتنا.

تُعدّ الرياضيّات أقدم وأضخم صرحٍ علميّ شيّده الفكر البشريّ، وتعتمد كلّ العلوم كالطبّ والهندسة وعلم النفس والديكور والبرمجة والفن والموسيقا والسياسة والاقتصاد، تعتمد جميعها على الرياضيات بنسبٍ متفاوتة، والفلسفة هي الاستثناء الوحيد.

ما هو تعريف الرياضيات؟

يمكن تعريف الرياضيات بإنها “دراسة الأنماط”، بينما يمكن تعريف العلم بأنّه “دراسة الأنماط في الطبيعة”، ومنذ نشأة الوعي البشري، كنّا نستخدم التفكير لتحسين حياتنا، وهذا التفكير كان يقودنا في كلّ مرة لابتكار علمٍ جديد، ولولا الرياضيات البحتة أي علم دراسة الأنماط لن تكون لدينا القدرة على التفكير بالأنماط!

لكن لماذا الأنماط على هذه الدرجة من الأهمّيّة؟ ببساطة لأنّها تسمح لنا بنمذجة الكون من حولنا، انظر من حولك، كلّ التصنيفات والتعريفات التي تعلّمتها في حياتك تعتمد على اكتشاف النمط ثمّ وضع التعريف، ثم تعميم هذا التعريف.

في البداية كان الظلام، ثمّ أتى النور، عاد مرّةً أخرى الظلام، وتبعه النور، حسنًا يمكننا الآن توقّع الحدث القادم وهو الظلام، ولا حاجة للانتظار لنرى هذه النتيجة، فقد اكتشفنا النمط، ونتيجة اكتشافنا لهذا النمط البسيط أصبح بإمكاننا استخدام وقتنا بشكلٍ فعّالٍ، وبتنا ننظّم أعمالنا لتتناسب مع هذا النمط.

ما هي مجالات الرياضيات البحتة؟

تدرس الرياضيات البحتة أيضًا مفاهيم رياضية مجرّدة، أي أنها غير ملموسة ولا يمكن رؤيتها، ولا يوجد تطبيق مباشر لها اليوم، فإذا كان الوجه الأول للرياضيات هو الرياضيات التطبيقية، فإنّ الوجه الثاني الذي لا يقلّ أهمّية هو الرياضيات البحتة، ويمكن القول باختصار هي الرياضيات من أجل الرياضيات.

من مجالات الرياضيات البحتة: المنطق ومنها المنطق التجريدي وجبر المنطق (جبر بول) وجبر الأعداد الحقيقية والجبر التجريدي، والتبولوجيا، والتحليل العقدي والتحليل العددي، ونظرية الأعداد ونظرية القياس…

لكن كثير من أقسام الرياضيات البحتة تجد طريقها في يومٍ ما للتطبيقات العملية، وهذا بالفعل ما حدث مع فروع الهندسة الإقليدية (نسبة إلى إقليدس) وهندسة لوباتشفسكي وهندسة ريمان والتحليل الحقيقي والتحليل العقدي ونظرية الألعاب وجبر المنطق…

لذا فإنّ الرياضياتيين يبدأون بفكرة رياضية شديدة التجريد ويتوسّعون بها، ويبنون عليها، وبعد سنوات قد تصل لمئات السنوات لا بدّ لأحد العلوم التطبيقية خاصّة الفيزياء والمعلوماتية من الاستفادة منها.

ولأزيدكم من الشعر بيتًا فإنّ الفيزياء النظرية اليوم تسير على خُطى الرياضيّات البحتة، مثلًا نظريّة الأوتار، وهي أشهر نظريّة فيزيائيّة يجري العمل عليها، إنّ هذه النظريّة تعتمد اعتمادًا كليًّا على الرياضيّات، ليست أيّة رياضيات، بل الرياضيات البحتة، فهي المنظومة الوحيدة التي تستطيع استيعاب الأبعاد الأحد عشر التي تلزم النظرية، كمان أنّها تقدّم فضاءاتٍ وبنىً يمكن المراوحة فيها واختبار الفرضيّات ونقضها أو إثباتها.

هل نحن بحاجة للرياضيات البحتة حقًا؟

لكن قد يتبادر للذهن السؤال التالي: لنسلّم بأنّ الرياضيّات البحتة تجد في النهاية تطبيقاتٍ مناسبة، إذن لماذا يعمل العلماء عليها قبل وجود الحاجة لها؟ أليس في هذا هدرٌ للجهود؟

جميعنا متّفقون أنّ هناك من يمارس الفنّ من أجل الفنّ، أو الرياضة من أجل المتعة، وليس بالضرورة أن يكون الفنان أو الرياضي محترفًا أي يكسب مالًا من حرفة الفن وحرفة الرياضة، فلماذا نسلب هذا الحقّ من علماء الرياضيّات؟

بالمناسبة فإنّ بعض التعريفات وتصنيفات العلوم تضع الرياضيات في خانة الفنون وليس العلوم وهو أمرٌ جدير بالنظر خصوصًا إن علمنا أنّ الرياضيّات غير قابلة للنقض، وهذا يفقدها واحدًا من أهمّ صفات العلوم وأقصد قابلية النقض، حتّى أنّ الإمام الغزالي قال “إنّ البراهين الرياضيّة لا سبيل لمعارضتها”.

في النهاية، إنّ دراسة الرياضيات البحتة تشبه زراعة مئة بذرة، والعناية بها لتنمو وتنضج، لكن القليل منها فقط سيصبح ثمارًا مفيدة للأكل، بينما البقية لن تُنتج إلا بذورًا أخرى، نعود ونزرعها في موسمٍ تالٍ لنحصل على جيلٍ جديد من الثمار اللذيذة، وبذورًا أخرى، وفي كلّ دورة سنرى ثمارًا أكثر نضارةً وأشدّ حلاوة وبذورًا أخرى تتابع المسيرة.

يبدو هذا طريقًا شائكًا أو مظلمًا على الأقلّ، فمن ذا الذي سيزرع بذورًا يأكل ربعها فقط؟ إنّه المزارع الذي يستمتع بعمله، وكذلك الرياضيّات البحتة، هناك علماء يستمتعون بدراستها، يقع على عاتقهم عبء رعاية بذور الرياضيات البحتة لإيصالها للأجيال اللاحقة، دون أن ينسوا نصيبهم من المتعة والترفيه، وأنا شخصيًا سأكون في أعلى درجات السعادة لو اكتشفتُ عددًا جديدًا من “أعداد ميرسين” أو “أعداد ثابت” مع علمي بأنّ فائدة هذه الأعداد تكاد تكون معدومة.

أخيرًا وبالرغم من أنّ أحد الأساليب التي استخدمتها في شرح قيمة الرياضيات البحتة كان تقليديًا وهو البحث عن الفوائد العملية للرياضيات البحتة والبرهان على أنّ مسحها من قائمة العلوم سيغيّر شكل العالم، إلا أنّي أميل لاعتبار الرياضيات –والبحتة خصوصًا– هي جزء أساسي من الكون وكانت موجودة على الدوام حتى قبل وجود الكون بخلاف الفيزياء التي لم ترَ النور إلا بعدما وُجد الكون نفسه، ولهذا سأناقش مسألة “هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟” في مقالٍ لاحق.

نُشر هذا المقال في أراجيك بتاريخ 18.05.2020

هل الأشعة مفهوم رياضي أَم فيزيائي؟

الأشّعة أو المتجهات Vectors

هي كائنات رياضية تُستخدم في الفيزياء بشكل واسع لتمثيل الكميات التي تملك "جهة". [1]

لنرجع قليلًا لقياس الكميات بشكل عام.

يمكن التعبير عن الكميات (عدد الأشجار، المسافة بين حائطين، كتلة القمر، مقاومة التيار الكهربائي ..الخ) بالأعداد كما هو معروف وواضح.

لكن هناك بعض الكميات التي تملك صفة إضافية مرافقة للعدد وهذه الصفة مميزة بشدة بحيث يمكن أن تتغيّر الكمية التي نتكلم عنها تمامًا إذا تغيّرت هذه الصفة، وهي "الاتجاه" وكي نعبّر عن تلك الكميات بكائن أو وصف رياضي واحد نستخدم الشعاع (أو المتجه)، وفي الحوار اليومي نسمع كثيرًا عبارات "تحرّك خطوتين لليمين" أو "أزح المقعد عشرة سنتيمترات للأمام" ولو قال أحدهم "تحرك خطوتين" فقط لن يكون لهذه العبارة معنى فهناك عدد لانهائي من الخيارات لتنفيذ هذا الأمر، بينما عندما قُرنت العبارة باتجاه أصبحت ذات معنى، وهذا بالضبط ما تفعله الأشعة.

لماذا قد يظنّ البعض أنّ الأشعة هي كائنات فيزيائية؟

تشكل دراسة الأشعة جزءًا لا يتجزّأ من الرياضيّات لكنها تمتلك تطبيقات هائلة في الفيزياء، فالأشعة رغم أنّها ذات طبيعة رياضية ولا يمكن دراستها والاستفادة منها إلا بعد تحقيق مستوى لا بأس به من إتقان الرياضيات إلا أنّ تطبيقاتها في الغالب في فروع علمية أخرى أشهرها الفيزياء خاصّة في دراسة القوى والحقول بشكل عام (الحقل المغناطيسي والحقل الكهربائي وحقل الجاذبية) والأمواج ..الخ، لكن ليست الفيزياء وحدها من استعارت الأشعة من الرياضيات، فأهمّ الحقول التي تسخدم الأشعة هي الجرافيكس بكل أنواعها من صور إلى فيديو وحتى الألعاب المعقدة، حتى إنّ واحدة من صيغ ملفات الصور تسمى Vector وهو نوع ملفات مستخدم كثيرًا في عالم التصميم والألوان.

هناك تطبيقات لا حصر لها للأشعة، ويكفي أن نعلم أنّ كلّ حركة يمكن التعبير عنها بشعاع، من حركة السيارات إلى حركة المكوك الفضائي.

بعد تطوّر علوم الحاسوب بأنواعها وزيادة قدرات الحواسيب (هارد وير) والتقدّم في الخوارزميات (سوفت وير) وثورة الاتّصالات والبيانات الضخمة التي أدّت لتقدّم الذكاء الاصطناعي تقدّمًا كبيرًا فإنّ الكومبيوتر بات من أهم الأدوات البحثية، بالأخصّ عندما يتعلّق الأمر بمعالجة كمّ كبير من المعلومات.
سأذكر مثالين
الأول المشروع العالمي للبحث عن أعداد ميرسين الأولية عبر الإنترنت
أطلق هذا المشروع جورج ولتمان في عام 1996 ويهدف لإصابة عصفورين بحجرٍ واحد، الأوّل اختبار قدرات الحواسيب، والثاني اكتشاف أعداد أوّليّة جديدة، وبما أنّ البحث عن الأعداد الأوّليّة الجديدة عملًا صعبًا للغاية، وهو يتمّ بواسطة الحواسيب على أيّة حال لأنّها وصلت لعدد منازل هائل جدًّا، لكن أصبحت عمليّة البحث واختبار الأعداد صعبة حتى على أقوى الحواسيب، لذلك أتت فكرة إطلاق هذا المشروع التعاوني عبر الإنترنت بحيث يمكن لأي شخص أن يحمّل البرنامج الخاصّ بفحص الأعداد واختبارها فيما إذا كانت أوّليّة أمْ لا، وبذلك يستطيع اختبار قدرة حاسوبه إضافةً لتزويد مشروع ميرسين بنتيجة البحث من أجل أن يستمرّ بقيّة متطوّعي العالم بالبحث.
وقد وصل عدد أعداد ميرسين بعد 23 سنة من إطلاق هذا المشروع إلى 51 عدد وإذا علمنا أنّ آخر عدد منها قد اكتشف في عام 2018 ويتكوّن من حوالي 25 مليون خانة فإنّنا سندرك حجم العمل الذي تقوم به الحواسيب

المثال الثاني
في تناغم رائع بين البيولوجيا والذكاء الاصطناعي صُمّم مؤخّرًا "روبوتات حيوية".
ما هي الروبوتات الحيوية؟
بالفعل فإنّ المصطلح جديد ويدلّ على منتج فريد ورائع، وهو روبوتات صغيرة (من رتبة المليمتر) صُنعت بدءًا من خلايا جذعية مأخوذة من الضفدع، ثمّ تمايزت هذه الخلايا إلى نوعين هما خلايا جلد وخلايا قلب، بحيث تكون الأولى حاضنة وحامية للثانية التي تنتج حركة بانقباضها وانبساطها بشكل يشبه حركة القلب، ولهذه الروبوتات ميزة مهمّة جدًا وهي أنّها تُدمّر ذاتيًا بعد عدّة دقائق.
لكن ما هو دور الذكاء الاصطناعي؟
لقد صُممت جميع التعليمات الوراثية التي ستحمل على الحمض النووي بواسطة الحاسوب ثمّ جرت محاكاة حاسوبية لتكاثر هذه الخلايا ونسخها لحمضها النووي بما فيها الطفرات، بعد إجراء المحاكاة لعملية التكاثر، أعيدت التجربة مرارًا وتكرارًا واختبرت نتائجها (حاسوبيًا) لانتقاء أفضل النماذج من أجل صناعتها بشكل فعلي، وعندما أعطى الحاسوب النتيجة قام العلماء بالفعل بصنع نماذج أولية من الروبوتات الحيوية التي تعد بالكثير، فقد تايع العلماء أبحاثهم حول إمكانية الاستفادة من هذه الروبوتات في نقل الدواء داخل جسم الإنسان إلى اماكن محددة تتم برمجتها عليها حاسوبيًا وتضمين هذه البرمجة في شيفرتها الوراثية.

الهوامش

[1] Great Internet Mersenne Prime Search

[2] اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة

[3] A scalable pipeline for designing reconfigurable organisms

[4] علماء يصنعون أول روبوت حيوي في التاريخ ! ريبلز #142

يمكن تطبيق منهجية بسيطة تقوم على حساب مقدار تواتر الأرقام في الحسابات الختامية من أجل كشف تزوير بيانات الشركات أو ميزانيّات مدفوعات الدول، وهو ما يعرف بقانون بنفورد ويجهله أغلب الناس في العالَم.

ما هي الأرقام الأكثر استعمالاً؟

لاحظَ عالِم الرياضيّات سايمون نيوكومب في القرن التاسع عشر أنّ جداول اللوغاريتمات الأكثر استعمالًا تقع في الصفحات الأولى، فاستنتج أنّ الأعداد المحيطة بنا تبدأ برقمٍ صغير في الغالب، وقد أصدر سايمون نيوكومب قانونًا لتوزيع الأرقام في عام 1881، ثمّ عاد عالِم الفيزياء فرانك بنفورد في العام 1938 باكتشاف هذه الظاهرة من جديد، عندما درس بيانات جمعها من مصادر عديدة شملت أرقام شوارع، وارتفاع المباني، وأرقام واردة في إحدى المجلات، وتبيّن أّنّ كثير من تلك البيانات موزّعة وفق قانون التوزيع لسايمون نيوكومب.

الدلالة الكونيّة والطبيعيّة لقانون التوزيع

عُرِف القانون في الأوساط العلمية بقانون بنفورد، وعكف علماء الرياضيات خلال العقود التالية لاستنتاجه على دراسته واستنتاج خواصّه وكانت أهمّ تلك الخواصّ أنّه قانون ثابت حتى وإنْ تغيّرت وحدات القياس، أي إنّ قياسات ارتفاع المباني مثلًا اتّبعت دومًا قانون بنفورد سواء قِيست بالأمتار أمْ بالأقدام.

لاحَظَ العلماء بدءًا من بنفورد نفسه وحتّى بداية الألفية الجديدة أنّ دمج مجموعات البيانات المختلفة غير ذات الصلة فيما بينها يُعطي مجموعة جديدة من البيانات التي تتبع هذا القانون أيضًا.

وقد امتدّ أثر قانون بنفورد إلى الاقتصاد، حيث لاحظَ الاقتصاديّ بيرسي دياكوني في سبعينيات القرن الماضي أنّ تسلسل الأرقام الاقتصادية مثل متتالية الناتج المحلّي الإجمالي عامًا بعد عام، كادت جميعها تكون موزّعة وفق قانون بنفورد.

دور قانون بنفورد في كشف عمليّات تزوير البيانات الحسابيّة

يمكن التأكّد من صحّة البيانات الاقتصاديّة بالتأكّد من توزيع البيانات على نحوٍ معقول وفق قانون بنفورد، وهذا ما بات ممكنًا بواسطة اختبار يُسمّى "تصحيح مربّع خي"، وقد طبّقت الأمر بشكلٍ ناجح السلطات القضائية في مدينة نيويورك وتمكّنت من كشف وإدانة سبع منشآت زوّرت بياناتها الحسابية الختامية.

ومن الأمور الطريفة التي توضّح أهمّية قانون بنفورد عليك أن تعلم أنّ المفوضية الأوروبية تنظّم مؤتمرًا حول أسس قانون بنفورد وأساليبه وتطبيقاته.

كيف تتوزّع الأرقام وفق توزيع بنفورد

نسبة استعمال الرقم (1) في الخانة الأولى هي الأعلى وتحتلّ 30% بينما يأتي الرقم (2) في المرتبة الثانية بنسبة استعمال حوالي 18%، ثمّ الرقم (3) بنسبة 12% تقريبًا، أي إنّ أوّل ثلاثة أرقام تٌستخدم بنسبة 60% بينما تبقى 40% للأرقام الستة الباقية، حيث تتناقص النسبة تدريجيًا لتصل إلى 4,5% فقط للرقم (9)

مصادر

https://www.journalofaccountancy.com/issues/1999/may/nigrini.html

https://ec.europa.eu/jrc/en/event/workshop/benfords-law-conference

ما هو العدد المثالي؟

العدد المثالي هو العدد الصحيح الموجب الذي يساوي مجموع قواسمه عدا نفسه. وأصغر عدد مثالي معروف هو العدد 6 وقواسمه هي (1،2،3،6) إذا جمعنا القواسم عدا (6) سينتج 1+2+3=6

الأعداد المثالية قليلة ومتباعدة جدًّا، مثلًا الأعداد المثالية التالية هي 28، ثم 496، ثمّ 8128، ثمّ 33550336، والعدد التالي مؤلّف من تسعة منازل!

قصّة الأعداد المثاليّة

عرِف اليونانيون القدماء أمثال فيثاغورس وإقليدس الأعداد المثاليّة لكنهم لم يكتشفوا سوى أوّل أربعةٍ منها، كما أوجد إقليدس صيغةً عامّة تربط بين الأعداد المثاليّة والأعداد الأوليّة (ليس أيّ عددٍ أوّلي، بل أعداد ميرسين كما ستُعرَف لاحقًا)، الصيغة هي:

درَس فيثاغورس وتلاميذه الأعداد المثاليّة لإيمانهم بأنّها تشمل على خصائص روحيّة فريدة، حيث اعتبر بعضهم أنّ الأعداد التي تزيد عن مجموع قواسمها أعداد شرِهة وتشبه مخلوقاتٍ لديها عدّة أفواه، أمّا الأعداد التي تنقص عن مجموع قواسمها فهي أعداد ناقصة ومشوّهة، وبالتالي فالأعداد التي تساوي مجموع قواسمها هي الأعداد المثاليّة، وارتبط العدد 28 (العدد المثاليّ الثاني) بدورة القمر والشهر القمريّ من وجهة نظرهم.

فيما بعد ازداد تقدير هذه الأعداد لدرجة أنّ القدّيس أوغوستين قال

إنّ الله خلق الكون في ستّة أيّام لأنّ العدد ستة عدد مثالي، وليس العكس أي لم يصبح العدد ستّة مثالي لأنّ الله خلق الكون في ستّة أيّام!

برهن أويلر العلاقة التي وضعها إقليدس بعد ألفي عام من وفاته، وهذا يدلّ على صعوبة العمل على هذه المجموعة الفريدة، لكن هذا لم يمنع العلماء من اكتشاف صيغ أخرى للأعداد المثاليّة، فقد توصّلوا لصيغة جميلة تعتمد على العدد المثلّثي وهي:

حيث P هو العدد المثالي، وT هو العدد المثلثي، والأعداد n,j أعداد صحيحة موجبة.

قد يعجبك أيضًا اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة

كما بُرهِن أيضًا على أنّ جميع الأعداد المثاليّة هي أعداد مسدّسة، مع الانتباه إلى أنّه ليس كلّ عدد مثلّثي أو عدد مسدّسي هو عدد مثالي بالضرورة.

أعداد ميرسين الأوليّة

من الطريف أنّ الأعداد المثاليّة التي يعتمد تعريفها على قواسمها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة من الأعداد الأوّليّة تُدعى أعداد ميرسين وهي أعدادٌ قليلة أيضًا ويبلغ عددها 51 عددًا، وهي الأعداد التي تُكتب بالصيغة التالية:

وعلى العموم كلّما اكتُشِف عدد أوّلي من أعداد ميرسين سيرافقه اكتشاف عدد مثالي جديد، لذلك فإنّ العمل على أعداد ميرسين أكثر جاذبيّة للباحثين، وهذا ما تفعله مجموعة GIMPS المختصّة بالبحث عن أعداد ميريسن الأولية الضخمة عبر تسخير جهود الباحثين الهواة وقدرات حواسيبهم عبر الإنترنت.

لماذا أعداد ميرسين؟

قد يتساءل البعض لماذا تعمل مجموعة كبيرة من الباحثين عبر الإنترنت على أعداد ميرسين بالذات؟
توجد عدّة أسباب، أوّلاً كما لاحظنا فإنّ أعداد ميرسين ستقودنا للأعداد المثاليّة، كما أنها أعداد أوّليّة بكلّ الأحوال، لذا فإنّ من يكتشف عددًا جديدًا سيُسجّل اسمه في قائمتين لا تحويان عددًا كبيرًا من الأسماء (أقلّ من 50 اسمًا حتى تاريخ كتابة هذا المقال) كما أنّ الطريق الأسرع للوصول للأعداد المثالية هو عن طريق أعداد ميرسين، لأنّ الميّزات الأخرى للأعداد المثاليّة لا تشكّل علامة فارقة كما تفعل أعداد ميرسين، فحيث إنّ كلّ عدد ميرسين جديد سيؤدّي حتمًا لعدد مثالي فإنّ الأعداد المثلثيّة أو الأعداد المسدّسة لن تفعل ذلك، أمّا طريقة جمع القواسم فهي تكاد تكون مستحيلة بعد الوصول لأكثر من 49 مليون خانة، وهي طريقة جيّدة لاختبار قدرات الحواسيب الجديدة!

اقرأ أيضًا سبب تقسيم اليوم إلى 24 ساعة والساعة إلى 60 دقيقة

ما هي الفائدة العمليّة من الأعداد المثاليّة؟

في الحقيقة لا توجد فائدة مباشرة منها، والرياضيّات عمومًا لا تعمل بهذه الطريقة، أي إنّ العلماء لا يبدأون العمل على المسائل من أجل فائدتها، بل من أجل المتعة، ثمّ يجدون لها تطبيقات فيما بعد، وبالنسبة للأعداد المثاليّة فهي أعداد جميلة وتتمتّع بخواصّ مغرية للعمل عليها كما أنّها تُعدّ صالحة حتّى الآن للبحث في مسائل غير محلولة، مثل البرهان على أنّ الأعداد المثاليّة منتهية أو غير منتهية، وكذلك هل الأعداد المثاليّة زوجيّة دومًا؟

اقرأ أيضًا الوجه الممتع من الرياضيات: أعداد أولية تتمتع بمزايا مدهشة

رغم أنّ جميع الأعداد المثاليّة المكتشفة حتى الآن والبالغ عددها 51 عددًا، جميعها زوجيّة بل إنّها جميعًا تنتهي بالرقم (6) أو الرقم (8) وهذا يقابل في نظام العدّ الثنائي إمّا (0) أو (00)، رغم ذلك إلا أنّ الرياضيّين يفضّلون البراهين النظريّة الأكثر موثوقيّة حتى لو كانت أصعب، وحتّى ذاك الحين ستُدعى هذه الخواصّ في أفضل الأحوال "حدسيّات".

نُشر هذا المقال في المحطة بتاريخ 27 شباط 2019

حالَف الحظّ أحد متطوّعي فريق بحثي يُسمّى GIMPS وهي اختصارات لجملة Great Internet Mersenne Prime Search أي المشروع العالمي للبحث عن أعداد ميرسين الأولية عبر الإنترنت، باكتشافٍ كبير جدًا يندرج ضمن فرع نظريّة الأعداد في الرياضيّات.

وللاسم ميرسين قصّة أخرى، سنذكرها لاحقًا، أمّا عن المشروع، فقد أطلقه جورج ولتمان في عام 1996 ويهدف لإصابة عصفورين بحجرٍ واحد، الأوّل اختبار قدرات الحواسيب، والثاني اكتشاف أعداد أوّليّة جديدة، وبما أنّ البحث عن الأعداد الأوّليّة الجديدة عملًا صعبًا للغاية، وهو يتمّ بواسطة الحواسيب على أيّة حال لأنّها وصلت لعدد منازل هائل جدًّا، لكن أصبحت عمليّة البحث واختبار الأعداد صعبة حتى على أقوى الحواسيب، لذلك أتت فكرة إطلاق هذا المشروع التعاوني عبر الإنترنت بحيث يمكن لأي شخص أن يحمّل البرنامج الخاصّ بفحص الأعداد واختبارها فيما إذا كانت أوّليّة أمْ لا، وبذلك يستطيع اختبار قدرة حاسوبه إضافةً لتزويد مشروع ميرسين بنتيجة البحث من أجل أن يستمرّ بقيّة متطوّعي العالم بالبحث.

عددنا الأوّلي الجديد الذي يُكتَب بشكلٍ مختصر بالشكل:

 2^82,589,933-1

يتألّف من 24،862،048 رقم (خانة) وهو يزيد بحوالي مليون ونصف المليون خانة عن العدد السابق الذي اكتِشف في العام 2017.

لكن ما يميّز هذا العدد والذي يحمل رمز M82589933 ليس بأنّه أكبر عدد أوّلي مُكتَشَف حتّى الآن، بل بأنّه ينتمي لمجموعة أعداد ميرسين الأوّليّة وهي مجموعة خاصّة من الأعداد الأولية كانت تحوي 50 عددًا فقط، والآن أصبحت تحوي 51 عددًا.

أعداد ميرسين

درس هذه الأعداد إقليدس (عاش 300 قبل الميلاد) لكنها لم تكتسب اسمها هذا إلا في القرن السادس عشر بواسطة الراهب الفرنسي مارين ميرسين، الذي درسها بتوسّع أكثر، ولهذه الأعداد علاقة مباشرة مع الأعداد المثاليّة perfect number وقد عمل عليها الرياضي السويسري ليونارد أولر.

عدد ميرسين هو كلّ عدد أولي يُكتَب بالشكل

 2^P-1

أي أنّه يُكتَب بشكل قوّة للعدد (2) مطروحًا من الناتج (1)، ويُعتَقَد بأنّ عدد أعداد ميرسين لانهائي لكن قائمة أعداد ميرسين تضمّ حتّى اللحظة 51 عددًا فقط.

ترافق مع اكتشاف العدد الأوّلي المذكور أعلاه، اكتشاف عدد مثالي جديد مؤلّف من 49 مليون خانة هو:

سأتكلّم في مقالٍ منفصل عن الأعداد المثاليّة، لكن باختصار العدد المثالي هو العدد الذي يساوي مجموع قواسمه عدا نفسه، مثلًا قواسم العدد 6 هي (1,2,3) ومجموع هذه القواسم يساوي (6) إذًا العدد (6) عدد مثالي.

يُقدِّم فريق المتطوّعين للبحث عن أعداد ميرسين جائزة ماليّة لمن يكتشف عددًا جديدًا وقد كانت الجائزة الأخيرة من نصيب المحظوظ Patrick Laroche وهو محظوظ لأنّه جرّب أربع محاولات فقط قبل أن يصل لهذا الاكتشاف، في الحقيقة فإنّ احتمال ربح الجائزة الكبرى في اليانصيب أكبر من احتمال اكتشاف عدد ميرسين جديد.

نُشرت هذه المقالة في المحطة بتاريخ 28-12-2018

Introduction to Probability from Harvard University

Differential Equations: Fourier Series and Partial Differential Equations from Massachusetts Institute of Technology

Probability – The Science of Uncertainty and Data from Massachusetts Institute of Technology

Fundamentals of Statistics from Massachusetts Institute of Technology

Causal Inference from Columbia University

Probability and Statistics: To p or not to p? from University of London International Programmes

Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur from École Polytechnique

Matrix Algebra for Engineers from The Hong Kong University of Science and Technology

Introducción a las ecuaciones diferenciales from Galileo University

Laboratorio di Matematica per Architettura from Politecnico di Milano

Automated Reasoning: satisfiability from EIT Digital

Random Walks from Santa Fe Institute

Game Theory II- Dynamic Games from Santa Fe Institute

Introduction to Information Theory from Santa Fe Institute

Functions and Iterations from Santa Fe Institute

Introduction to Renormalization from Santa Fe Institute

Introduction to Differential Equations from Santa Fe Institute

Ordinary Differential Equations from Santa Fe Institute

Game Theory I – Static Games from Santa Fe Institute

Maximum Entropy Methods from Santa Fe Institute

Vector and Matrix Algebra from Santa Fe Institute

Sta(r)tistics: Statistics for everyone – Applied statistics for new science students from University of Sunderland

College Algebra from Johns Hopkins University

Calculus from Modern States

College Mathematics from Modern States

Precalculus from Modern States

57686312646216567629137

7686312646216567629137

686312646216567629137

86312646216567629137

مجموعة أخرى

هل ينطبق الأمر على الأعداد في نظام العد الثنائي؟

ما هي طريقة اكتشاف هذه الأعداد؟

ما هي الفائدة من كلّ هذا؟

أخيرًا، قلم رصاص يبقى أوّليًا دومًا