دعني أتكلّم عن الرياضيّات كونها اختصاصي الرئيس، ومعظم الأمور تنتطبق على الفيزياء كونها أقرب العلوم للرياضيات وأكثرها اعتمادًا عليها.

الرياضيات بناء منطقي شديد الترابط وشديد الحساسية وذو أساسات عميقة جدًا

هذه ليست عبارة إنشائية أو مديح بالرياضيّات بل إنّ كلّ كلمة منها تدلّ على صفة من صفات الرياضيات التي إن أدركتها فسوف تكون أنت والرياضيات على وِفاق.

الرياضيات بناء منطقي، فلا يوجد شيء بلا سبب ولا يوجد شيء يأتي من العدم أو يذهب هباءً، وهي دقيقة جدًا ولا تخطئ، وكلّما ظننت أن الرياضيات تخطي فأنت مخطئ، وكلما صادفت تناقضًا فاعلم أنّك قد ارتكبت خطأ، قد تظن أنّ هذا يصعّب المهمة، لكن العكس، هذا يجعل الرياضيات أسهل فلا مجال للمفاجآت.

شديد الترابط، هل سمعت بعبارة "كل الطرق تؤدي إلى روما" نعم هي ذاتها في الرياضيات، في البداية تتفرّع شجرة الرياضيات وكلّما تقدّمت في أي فرع من فروعها ستجد فروعًا جديدة وبينما تظنّ أنك تائه في وسط متاهة، تعود هذه الفروع لتلتقي، مما يزيد في جمال الرياضيات ويؤكد على دقتها.

شديد الحساسية، إنّ المنطق العالي والترابط الشديد، لا بدّ أن ينتج عنه حساسية مفرطة، أي إنّ أي خطأ بسيط في مرحلة ما سيؤدي لنتائج كارثية في ما بعد، وكأنه أثر الفراشة الذي يحدث عاصفة.

أساس عميق جدًا، كون الرياضيات العلم (هناك جدل فيما لو كانت علم أم لا - ارجع للإجابة المرفقة أدناه

[1] ) الأكثر تجريدًا وهو صلة الوصل بيننا وبين كل ما هو مجرّد فيجب أن تكون أساساته عميقة جدًا، بمعنى… وكمثال… ما هو العدد؟ ما هو العدد واحد أو ما هو العدد اثنان؟ ما هو العدّ أساسًا؟ هذه المفاهيم شديدة التجريد والتي لا نظنّ أنها من البدهيات هي مفاهيم تحتاج تعريف وتوضيح وتأصيل في الرياضيات حتى ننطلق منها لما هو أعلى.

الآن لنأتي للسؤال، كيف تصبح جيّدًا في الرياضيّات؟

أولاً ليس بالضرورة أن تحبّ الرياضيات أو تحبّ الفيزياء حتى تصبح جيدًا بهما، فهي علوم ذات قوانين وأسس واضحة يمكنك ولها مراجعها وكتبها التأسيسية، التي يمكنك الحصول من خلالها على خارطة الطريق لتشق بها طريقك نحو الإتقان، لكن هل يفيد الحب؟ نعم إذا أحببتها ستقول فيها شعرًا ونثرًا وستكتب المقالات غزلًا فيها، وربّما تبدع، وربّما تكتشف قوانين جديدة أو تضعه قوانين جديدة، ربّما تنقلها إلى مستويات أخرى.

ابدأ بالأساس من أخفض نقطة

لا تهمل التأسيس النظري لأي مسألة أو قانون

امشِ بالتسلسل، لا تقفز

مارس حلّ المسائل بكثرة بكثرة

اربط بين الأسس النظرية التي تعلمتها وبين الحياة العملية

ابحث عن مسائل رياضية من حولك، كمساحة الغرفة وحجم أسطوانة الغاز والزاوية بين عقربي ساعةٍ أمامك

اكتب، الرياضيات لا تُدرس بالنظر

اعمل على إنشاء ملخصاتك بنفسك، ولا تستعن بشيء جاهز

مقالات أخرى للاستزادة

كيف أبدع في الرياضيات؟

هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟ سابقة أم لاحقة للوجود الإنساني!

دراسة الهندسة من الصفر إلى الاحتراف والعلامة التامة في الثانوية

لقد سألت الشخص المناسب (أنا بكلّ فخر) لأنّي أدرّس مادّة الهندسة منذ عدّة سنوات لطلاب الثانوية في تركيا (امتحان القبول الجامعي للطلبة الأجانب في تركيا يوس YOS) وهو يتطلّب دراسة الهندسة من الصفر حتى النهاية (المقصود بالنهاية هي أعلى مستوى في الثانوية)

سأسرد المواضيع التي تجب دراستها بالترتيب -قد يختلف الترتيب قليلًا عند بعض المدرّسين أو في بعض المناهج وذلك بسبب التشابك بين الدروس وسأورد مثالًا عن التشابك أدناه.

1- في البداية كانت النقطة: في هذا الدرس نبدأ بأصغر كائن رياضي هندسي وهو النقطة وننطلق منها إلى بقية المفاهيم الأوّلية كالمستقيم والقطعة المستقيمة ومفاهيم التوازي والتقاطع ثمّ الزوايا وأنواعها، في الفيديو التالي الدرس الأول من كورس كامل في الهندسة

2. مسلّمة إقليدس الخامسة: هذه المسلّمة هي أهمّ المسلّمات وأخطرها، وبتغييرها سننتقل بين الهندسة الإقليدسة (التقليدية التي ندرسها) والهندسات اللاإقليدية (ريمان ولوباتشفسكي) وتُدعى أيضًا "مسلّمة التوازي"

[1] وفيها نؤسّس للزوايا المتساوية والمتكاملة وهذا أمر مهمّ جدًا ورئيس في الهندسة المستوية

3. نظرية المتراجحات في المثلث وتبحث في العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات الزوايا (يمكن تأجليه إلى ما بعد الدرس رقم 8)

4. الخطوط الأساسية في المثلث وتشمل أربعة خطوط هي الارتفاع والمنصف والمتوسط والمحور

5. نظرية فيثاغورس ونظرية إقليدس والعلاقات العددية في المثلث القائم

6. المثلثات الخاصّة: متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع

7. نظرية تالس وتالس في المثلث

8. نظرية المنصّف الداخلي ونظرية المنصّف الخارجي

9. المتوسّط في المثلث

10. تشابه المثلثات

11. تطابق المثلثات

12. مساحة المثلث

13. متوازي الأضلاع

14. شبه المنحرف

15. حالات خاصة من متوازي الأضلاع: المستطيل والمعين والمربع

16. الرباعي بالحالة العامة

17. المضلعات بالحالة العامة

18. الرباعي الدائري (يمكن تأجيله إلى ما بعد الدرس رقم 20)

19. الدائرة: تعريف ثمّ الخطوط الأساسية والزوايا

20. الدائرة: المحيط والمساحة

21. الإحداثيات الديكارتية: تقسيم المستوي إلى أربعة أرباع وتحديد النقاط والإحداثيات وحساب الأطوال

22. معادلة المستقيم

23. معادلة الدائرة

24. معادلة القطع المكافئ

25. معادلة القطع الناقص

26. معادلة القطع الزائد

27. التعريف المشترك للقطوع

28. التحويلات الهندسة: الانسحاب والدوران والتحاكي

29. الأشعة

30. العزم (يعتبره الكثيرون موضوع فيزيائي)

31. الهندسة الفراغية: المستوي ثم المستويات الإحداثية (ثلاثة محاور)

32. الأوضاع النسبية بين المستويات وبين المستقيم والمستوي ونظرية الأعمدة الثلاثة

33. الدوران وتوليد المجسمات (أسطوانة ومخروط الخ)

34. الموشور وأنواعه

35. حالات خاصة من الموشور: متوازي المستطيلات والمكعب والأسطوانة

36. الهرم وأنواعه (مائل وقائم)

37. حالات خاصة من الهرم: رباعي الوجوه والهرم الرباعي المنتظم القائم والمخروط

38. الكرة هندسيًا

39. الكرة تحليليًا

40. توظيف التكامل في حساب المساحات والحجوم والقيم الصغرى والكبرى.

لديك في هندسة الطيران أمران رئيسان هما: تصميم المركبات وحركتها، بالتالي فإنّ الرياضيات التي تلزم قريبة جدًا ممّا ندعوه "الرياضيات للفيزيائيين" وفي الطيران سيتمّ التركيز على ميكانيك الموائع بشكل كبير وستلزم المواضيع الرياضية التالية:

1- الجبر والهندسة التحليلية: لفهم الأسس الرياضية التي سترتكز عليها دراستك القادمة.
2- التفاضل والتكامل: لدراسة الحركة والقوى المؤثرة في الطائرات بما في ذلك دراسة معدلات التغيير، بالمناسبة مؤسس التفاضل والتكامل هو السيد نيوتن الذي وضع أسس الميكانيك الكلاسيكي.
3- المعادلات التفاضلية: وهي أمر أساسي جدًا في كلّ مواضيع الفيزياء، مثل الحركة (السرعة والتسارع) والحقول (الحقل المغناطيسي وحقل الجاذبية) والاهتزازات والأمواج (الصوت والهواء)
4- الإحصاء والاحتمالات: لتحليل البيانات وتقييم المخاطر.
5- الديناميكا الهوائية
6- التحليل العددي: الأساليب العددية في حلّ المسائل الهندسية التي لا يمكن حلّها تحليليًا (بالتفاضل والتكامل)

بشكل غير متوقّع (على الأقلّ من العامّة وغير المتخصّصين في الرياضيّات) فإنّ الأبحاث والاكتشافات والتقدّم في مجال الرياضيات وفروعها مزدهرة بل وبوتيرة أسرع من أيّ وقتٍ مضى عبر التاريخ.

في السنوات الأخيرة شهد فروع الرياضيات: نظرية الأعداد، والهندسة الجبرية، والتحليل الرياضي وغيرها تقدّمًا ملحوظًا انعكس على التقنية والإلكترونيات والاتّصالات ممّا سهّل حياتنا، بل يبدو أنّ شكل العالم الحالي يعود إلى تلك الإنجازات في الرياضيات.

على سبيل المثال:

1- تمكّن العلماء من حلّ مسائل رياضية معقدة كانت في قائمة الانتظار وبعضها كان قد رُصد له الجوائز الكبيرة، مثل نظرية فيرما الأخيرة التي حلّها أندرو ويلز عام 1994، و فرضية بوانكاريه التي حلها غريغوري بيرلمان عام 2003، ومسألة كيبلر لتكديس الكرات التي حلها توماس هالز عام 1998، ومربهنة النقطة الثابتة لبروارد ومسألة الألوان الأربعة وفرضية الأعداد الأولية التوائم ..إلخ

2- توسّعت نظرية الأعداد بشكل كبير بفضل استخدام الحاسوب، حيث كانت الفائدة متبادلة، ففي حين ساعدت الحواسيب العملاقة في حلّ مسائل تستغرق وقتًا طويلًا في مجال نظرية الأعداد، فإنّ تطوّر أبحاث نظرية الأعداد وخاصّة "التشفير" ساهم في رفع كفاءة الحواسيب عدا عن التطبيقات المباشرة في أمن المعلومات والإنترنت والمعاملات المالية.

3- تطوّر الرياضيات التطبيقية، حيث ساهمت التوأمة بين الرياضيات والحوسبة بابتكار حلول وتطبيقات واختراعات جديدة في مجالات الطاقة والبيئة والصحة وحتى في علوم بعيدة مثل علم الاجتماع والطب والأوبئة.

4- الذكاء الاصطناعي والتعلّم الآلي، للرياضيات اليد الطولى في تطوير تقنيات الذكاء الاصطناعي بفضل قدرة الرياضيات على إدارة البيانات الضخمة والمساهمة في معالجتها.

تعتمد الإجابة على نظام العد الذي نستخدمه، لذا سأوضح الفرق بين الرقم والعدد.

الفرق بين الرقم digit والعدد Number.

الأرقام في أي نظام عد تشبه الحروف في اللغات، بينما الأعداد هي بمثابة الكلمات، وعليه فإن الأرقام تكون مجموعة منتهية بينما الأعداد تكون مجموعة غير منتهية، مثلاً في نظام العدّ الثنائي لدينا رقمين فقط هما:

{0,1}

أما في نظام العدّ العشري لدينا عشرة أرقام هي:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

وفي نظام العد الستعشري لدينا 16 رقم هي:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

ويمكن الفرق بين هذه الأنظمة في عدد الأعداد التي يمكن تكوينها من عدد معين من الخانات، مثلًا في نظام العدّ الثنائي يمكن تكوين أربعة أعداد مكونة من منزلتين فقط هي:

00,01,10,11

أما في نظام العدّ العشري يمكن تكوين مئة عدد من منزلتين هي:

{00,01,02,03,…,97,98,99}

وسيزداد عدد الأعداد المكونة من منزلتين في النظام الستعشري إلى 256 عدد، وهو عدد عناصر جدول آسكي

ويمكنك ابتكار نظام العد الذي تشاءه.. وهذا بالضبط ما تفعله كل دولة أثناء اعطائها للسيارات رموزاً لتمييزها فتستخدم مع الارقام العشرة المألوفة عدة أحرف من أبجديتها وذلك لرفع عدد السيارات التي يمكن وسمها برموز مميزة ضمن أقل عدد منازل ممكن.

ملحوظة: عدد الأعداد لانهائي في كل أنظمة العد.

الرياضيات

قد يشعر القارئ بالغرابة أو التناقض لأنّ الرياضيات شرط لازم لتعمل الفيزياء بينما العكس لا، ومنه يستنتج أنّ الرياضيات أسهل من الفيزياء، لأنّ فهم الفيزياء يتطلب فهم الرياضيات والفيزياء، لكن الأمر ليس كذلك.

الفيزياء تحتاج الرياضيات لتعمل وعلماء الفيزياء يحتاجون الرياضيات لإثبات فرضياتهم أو نفيها، لكن هذا لا يعني أنّ دارس الفيزياء يحتاج لفهم عميق بالرياضيات.

يلزم لدراسة الفيزياء بعض الرياضيات وهذه الـ "بعض" لا يلزم فهمها وإتقانها وبرهانها من وجهة نظر رياضياتية، بل استخدام نتائجها، مثلًا لدراسة الحركة الموجية للهواء داخل أنبوب، يلزمنا من الرياضيات المعادلات التفاضلية المثلثية، لكن لا يهتمّ الفيزيائي بكيفية استخراجها أو برهان طريقة حلها، بل يأخذ النتيجة النهاية لعمل علماء الرياضيات ويطبّق عليها شروط مسألته ويحصل على الحل.

مثال آخر يوضّح الأمر كله، نحن نستخدم الحواسيب، لكن لا يلزمنا معرفة بكيفية برمجة نظام التشغيل أو كيفية نقل المعلومات فيما بين المعالج والذاكرة، هذه الأمور يعلمها جيدًا مصمّموا الحواسيب والمبرمجون، بينما نحن يجب أن نعلم كيفية استخدام الحواسيب بما يخدم غرضنا كالكتابة أو تصميم الصور أو الألعاب.

الآن لنذهب للقسم الأصعب من السؤال، لماذا الرياضيات هي الأصعب؟

يمكن اعتبار الأشياء ومن خلفها العلوم والتفسيرات العلمية كطبقات تأتي الواحدة فوق الأخرى، وكلما كانت الطبقة أعمق كان فهمها أصعب، بحيث أنّ الطبقة الأعلى أي الواجهة التي نراها هي الأسهل للفهم أو للتشغيل حتى دون الفهم، مثلًا السيارة، يمكن لمن أخذ عدة دروس في القيادة أن يقودها بشكل صحيح وفعّال، لكن هذا الشخص لا يعلم شيء أعمق من عجلة القيادة، بينما يمكن للميكانيكي أن يفهم كيف تنتقل الحركة من المقود إلى العجلات، ويفهم الكهربائي كيف تنتقل الشرارة من مفتاح التشغيل إلى المحرك، لكن كلّ من الميكانيكي والكهربائي لا يعلمان ما هي الفيزياء أو الكيمياء التي تجعل الحركة والشرارة تنتقلان، المهندس الذي صمّم السيارة -أو مجموعة المهندسين- يعلم ما هي الفيزياء والكيمياء الكامنة خلف ذلك ويعرف كيف تنتقل الإلكترونات من القطب السالب إلى القطب الموجب وكيف تنتقل الحركة بين مسننات المحرك وكيف يدفع احتراق الوقود الأسطوانات التي تسبب في النهاية الدوران الذي ينتقل أفقيًا وشاقوليًا ليصل في النهاية إلى العجلات، كل أولئك الأشخاص لا يعلمون ما هي القوى التي تجعل الإلكترون ينتقل بالاتجاه المذكور وليس عكسه، ولا يعلمون -على المستوى الذري- لماذا تتماسك ذرات النيكل بطريقة مختلفة عن تماسك ذرات الألومونيوم ممّا يحتّم على المصممين اختيار هذا المعدن أو ذاك من أجل الأجزاء المختلفة من السيارة، أيضًا جميع ما سبق لا يدركون الرياضيات النظرية وراء كل جزء، بدءًا من الرياضيات اللازمة لنظرية الكم صعودًا للتكامل والتفاضل الذي يصف معادلات الحركة داخل أجزاء السيارة أو على الطريق، بالمناسبة هذا أسهل جزء من الرياضيات.

بشكل عام أي جزء من الرياضيات تستيطع الآلات الحاسبة إنجازه يمكنني القول إنّه سهل بلا تفكير، وتكمن صعوبته في السلسلة الطويلة من الحسابات وليس في الفكرة الرئيسة له، بينما الرياضيات المجرّدة كالجبر الخطي والتوبولوجيا ونظرية البيان فهي أمور لا يمكن للآلات فهمها ولا يمكن سوى للعقل البشري فهمها وهنا تكمن صعوبة الرياضيات وجمالها.

لا

الرياضيات أضخم وأعمق بكثير مما يمكن تصوّره، وهي ارتباط لكيانات عديدة بشكل متسلسل، هرمي تارةً وشجري تارة أخرى.

في يومين لدينا 48 ساعة نصفها نوم واستراحات يبقى 24 ساعة، في 24 ساعة يمكنك أن تصبح جيدًا في عدة مواضيع لا أكثر وليس في الرياضيات كلها، وأنا حين أقول الرياضيات كلها لا أقصد الرياضيات كلها على الإطلاق، لكن أقصد ما يمثّل كل الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي أو حتى طالب جامعي.

الرياضيات بالنسبة لطالب ابتدائي هي: العدّ والعمليات الحسابية الأربعة والكسور والتعرف على الأشكال الهندسية والزوايا وحساب الوقت وحساب المعدل.

الرياضيات بالنسبة لطالب إعدادي هي: كل ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة المستوية وصولًا إلى نظرية فيثاغورس وحساب مساحات الأشكال الهندسية الشهيرة، ومبادئ في الإحصاء بما فيها رسم المخططات البيانية، ومبادئ الاحتمالات، وحلّ المعادلات من الدرجة الثانية، وحلّ جمل المعادلات بمجهولين ورسم الخط البياني للتوابع البسيطة، والتوسع في الكسور والتناسب.

الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي هي: كلّ ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة الفراغية وحساب مساحات وحجوم المجسّمات الأساسية، مبادئ في الأعداد العقدية والعمليات عليها، مبادئ في الاشتقاق والتكامل وتطبيقاتهما، مبادئ في اللوغاريتم، حساب المثلثات والمعادلات المثلثية، مبادئ في النهايات ودراسة تغيرات الدوال، التوسع قليلًا في الاحتمالات والإحصاء ومبادئ العدّ، مبادئ في سلاسل المجاميع والمضاريب.

الآن لنرى ماذا يمكن لطالب أن يفعل في 24 ساعة فعلية

إذا كان الطالب جيدًا بما يكفي لاستيعاب المواضيع وربطها ببعضها والبناء عليها بسرعة دون الحاجة لحلّ مئات الأمثلة والاكتفاء ببضعة أمثلة لكلّ فكرة فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الابتدائية، وإن افترضنا أن الطالب في الإعدادية وكان متقنًا لكلّ ما درسه في الابتدائية فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الإعدادية أيضًا.

أمّا موضوعات الثانوية فإنّه حتى لو كان متقنًا لكلّ ما درسه في الإعدادية فإنّه لن يستطيع خلال هذا الوقت إتقان أكثر من ربعها.

وأكرّر: ضمن ظروف عديدة أهمها قدرة الطالب على الاستيعاب السريع والبناء المتسلسل للموضوعات التتالية، مع العلم أنّ العديد من المواضيع ليس هرمية بل هي شجرية، مثلًا من أجل دراسة تحولات تابع يجب إتقان عدة أمور مثل الاشتقاق والنهايات وهذين موضوعين منفصلين يلتقيان في دراسة التحولات.

المسألة هي:
لدينا فندق تخيلي يحوي عدد لانهائي من الغرب، وجميع هذه الغرف مليئة، وصل زائر جديد، كيف سنجد له غرفة؟
طرحتُها على طلاب الصفّين السادس والسابع ورغم أنها أعلى من مستواهم إلا أنهم انهمكوا في النقاش وابتكار الحلول للرجل المسكين كي لا ينام في الشارع وهذه عيّنة من أجوبتهم:
1- في المطبخ (صاحبة الإجابة فتاة -يبدو أنها تحب الجلي-)
2- في غرفة الاستقبال (الإجابة لفتاة أنيقة)
3- في المستودع (الإجابة لفتىً ضخم)
4- في المصعد
5- في الحمام
6- في الغرفة الأخيرة
7- في أي غرفة مع نزيل آخر
8- نبني غرفة (صاحب الإجابة فتىً ذكي أشقر ريفي ذو نمش)
عند هذه الإجابة تجمّدت
أحسستُ أننا في سوريا
حيث أنه كلما ضاق البيت على سكّانه عمّروا غرفة على السطح
كلّ طالب أجاب حسب بيئة جيناته وليس بيئته الحالية

ورقة العمل التي وزّعتها على الطلاب هنا

للاطلاع على مسألة هلبرت من هنا

تُمنح جائزة شو سنويًا لثلاثة فروع هي الفلك والطب والرياضيات وتُلقّب بجائزة نوبل آسيا

حصل في العام 2021 على جائزة شو في الرياضيات كلّ من الرياضيين: الأمريكي جيف شيغر، والفرنسي جان ميشيل بيسموت، لمساهمتهما في الطبولوجيا والهندسة التفاضلية

تمنح هذه الجائزة سنويًا الجمعية الأمريكية للرياضيات، وذلك لصاحب أفضل ورقة أو مقالة بحثية منشورة في إحدى المجلتين التابعتين الجمعية الأمريكية للرياضيات في السنوات الخمس السابقة، وهما Bulletin of the AMS و Notices of the AMS

حصل على جائزة العام 2022 عالم الرياضيات الحاسوبية أندريه بور Andrej Bauer عن مقالته بعنوان Five stages of accepting constructive mathematics

هل تعرف تطبيق ممتاز لحل مسائل الرياضيات؟

نعم، موقع رائع وطريقة استخدامه سهلة جدًا، فمحرر الكتابة فيه يتيح كتابة جميع أنواع الرموز الرياضية ويقترح أيضًا الصيغ الشائعة لتسريع عملية الكتابة وهو موقع ماث وي Mathway | Algebra Problem Solver

أما أفضل ما يتميّز به هو قدرته على حلّ جميع المسائل التي تخطر في البال، انظر إلى قائمة الخيارات التي يتيحها بعد كتابة معادلة، كنتُ أظنّ أني سألتقط صورة لها جميعها، لكن ما زال هناك المزيد ولم تتّسع الصورة أكثر من هذا، ادخل وجرّب بنفسك، يوجد تطبيق موبايل أيضًا

ما هو أفضل برنامج لحل المعادلات التفاضلية الاعتيادية؟

تطبيق جوجل لحلّ مسائل الرياضيات سوكراتيك Socratic by Google - Apps on Google Play

تطبيق مايكروسوفت ماث المجاني Microsoft Math Solver - Apps on Google Play

تطبيق symbolab

وهو تطبيق رائع جداً، يتيح لك الإصدار المجاني منه الحل بدون تفاصيل، يمكن الوصول له من هنا

يستطيع التطبيق حل المسائل الكلامية ورسم الخطوط البيانية أيضًا بالإضافة لحل المسائل الهندسية

وينصح به الأستاذ القدير خلدون يلداني

ستة مسائل ولمدّة أربع ساعات تنافس فيها 619 طالب من 107 دول، اكتسحت في نهايتها الصين بست ميداليات ذهبية، وبرصيد 208 نقاط من أصل 252 نقطة، تلتها مباشرة في المركز الثاني روسيا بخمس ميداليات ذهبية، وفضية واحدة و183 نقطة.

استضافت سانت بطرسبرغ الروسية فعاليات أولمبياد الرياضيات الدولي الثاني والستين، وهذا الأولمبياد الثاني على التوالي الذي يُقام عند بُعد.

أسئلة الامتحان لعام 2021

كالعادة كانت ست أسئلة موزّعة على يومين، ينال الطالب 7 درجات لكلّ سؤال كامل، ويمكن أن تُجزّأ العلامة فينال من صفر حتى 7 درجات.

تناولت الأسئلة موضوعات من نظرية الأعداد والهندسة المستوية والتحليل الرياضي ونظرية المجموعات، وكانت من المستوى الصعب، حيث لم يحصل على العلامة التامة 42 درجة سوى طالب واحد فقط هو الصيني Yichuan Wang علمًا أنّ هذه المشاركة الأولى له في الأولمبياد (لا تحاول البحث عنه لأنّك ستحصل على الكثير من الأشخاص، يبدو أنّ هذا الاسم شائع جدًا في الصين).

وفيما يلي الأسئلة كاملةً باللغة العربية.

https://drive.google.com/file/d/1RfsMHDBvk_YhTOgHBPHvdlBsGqbQO2i0/view?usp=sharing

مشاركة الدول العربية

شاركت كل من: العربية السعودية - سوريا - مصر - العراق - الجزائر - المغرب - تونس - عُمان - موريتانيا

وقد حصلوا على النتائج التالية:

1. السعودية (المركز 38 عالميًا) وحصلت على فضية واحدة وثلاث برونزيات وميدالية شرف واحدة بمجموع 90 نقطة.
2. تونس (56) فضية وبرونزية وميداليتي شرف 57 نقطة.
3. سوريا (65) برونزيتين وميداليتي شرف 44 نقطة.
4. المغرب (75) ثلاث ميداليات شرف 33 نقطة.
5. الجزائر (89) بلا ميداليات 16 نقطة.
6. العراق (89) ميدالية شرف واحدة 16 نقطة.
7. موريتانيا (98) بلا ميداليات 7 نقاط.
8. مصر (103) بلا ميداليات نقطتان.
9. عُمان (103) بلا ميداليات نقطتان.

بالنسبة للشرق الأوسط، فإنّ كلّ من تركيا وإيران و "إسرائيل" لا تغيب عن المنافسات دومًا، وتصدّر المنطقة "إسرائيل" في المركز السابع عالميًا بثلاث ذهبيات وفضيتين وبرونزية و139 نقطة، إيران حلت بالمركز 29 بثلاث فضيات وصلاث برونزيات، وتركيا حلت بالمركز 35 بفضية وخمس برونزيات.

هذا الفرع من الرياضيات واسع جدًا ويحتاج تأسيس قوي، لذلك يجب على الدارس الجديد له (أي من لم يأتِ من خلفية رياضية) أن يخوض دورة كاملة مخصّصة للتأسيس.

إليك هذه التجميعة من خان أكاديمي

أولًا كورس "التحضير للتفاضل والتكامل"

Precalculus
وهي دورة طويلة تتطرّق للمواضيع التالية:
الأعداد العقدية
كثيرات الحدود (الحدوديات)
المثلثات (الدساتير المثلثية والتوابع المثلثية وليست المثلثات في الهندسة)
الأشعة (المتّجهات)
المصفوفات
السلاسل
القطوع المخروطية
الاحتمالات وطرائق العدّ

ثانيًا كورس "التفاضل والتكامل1"

جرت العادة في المنصّات التعليمية على تقسيم الكورس إلى جزأين، لكنّي لا أرى ضرورة لذلك، علمًا أنّنا في الجامعة درسناه وفق تقسيمات مختلفة لأنّنا توسّعنا بشكل كبير، حيث تشكّل الموادّ التي تتناول التفاضل والتكامل التي ندرسها على مدار أربعة سنوات ما مجموعه سنة دراسيّة كاملة.
Calculus 1
يتناول هذا الجزء الموضوعات التالية:
النهايات والاستمرار
قوانين الاشتقاق الأساسية
قوانين الاشتقاق المتقدّمة (سلاسل)
تطبيقات الاشتقاق (المعنى الهندسي للاشتقاق ..الخ)
دراسة تحوّلات تابع (جدول الإشارة ونقاط الانعطاف)
التكامل
معادلات تفاضلية (مقدّمة)
تطبيقات التكامل

ثالثًا كورس "التفاضل والتكامل2"

Calculus 2
يتضمّن العناوين التالية
مراجعة للتكامل
طرق التكامل (التكامل بالتجزئة ..الخ)
معادلات تفاضلية
تطبيقات التكامل (حساب المساحة ..الخ)
التكامل في الإحداثيات القطبية
السلاسل

رابعًا كورس "التفاضل والتكامل لتوابع متعدّدة المتحوّلات"

Multivariable calculus
يضمّ الموضوعات التالية
مقدّمة (للربط مع المتّجهات والمصفوفات)
اشتقاق التوابع متعدّدة المتحوّلات (الاشتقاق الجزئي ..الخ)
تطبيقات الاشتقاق المتعدّد
التكامل المتعدد (ثنائي ثلاثي)
نظريات جرين وستوكس والتباعد

خامسًا كورسات بديلة

لو أحسست بأنّك بحاجة إلى المزيد من التمرينات أو الترميم فهناك كورسين للتفاضل والتكامل هما

الأول حساب التفاضل
Differential Calculus
ويتضمّن جميع ما سبق بأسلوب أوسع قليلًا

الثاني حساب التكامل
Integral Calculus
ويمكنك الاستعاضة بهذين الكورسين عن الكورسين الواردين في (ثانيًا وثالثًا)

أي إنّك بحاجة لأربعة كورسات أو ثلاثة على الأقلّ (إذا تجاوزنا كورس التحضير)

أخيرًا أودّ الإشارة إلى أنّه بالإمكان حضور هذه الدورات من خان أكاديمي بالترجمة العربية وذلك كما هو موضّح بالصورة التالية

لديّ ولد عمره 10 سنوات (أحمد) وآخر عمره 8 سنوات (أنس)

أنس يحبّ الرياضيات ونظنّه مبدعًا فيها أكثر من أحمد رغم أنّ علامات أحمد في المدرسة أفضل من علامات أنس.

أعطِ لأنس مهامّ حسابية فينجزها ذهنيًا، وهو يعرف الضرب والقسمة والأسّ والعدد الأوليّ.

في المسائل اللفظية يجد صعوبة في تفسير المطلوب.

صديقي لديه ولد عمره 7 سنوات (وليد)

وليد وبفضل تدريب والده المتواصل له، الآن يستطيع حلّ معادلة من الدرجة الأولى وحساب زوايا المثلث وإجراء عمليات ضرب طويلة، أنا أرى أنّه مبدعًا في الرياضيات بدرجة تفوق أنس كثيرًا.

لنأتي للتحليل

لو نظرنا إلى أنس وأحمد لقلنا إنّ إتقان الرياضيات (وفي هذه المرحلة نغامر بقولنا رياضيات رغم أنّ ما يمارسونه هو فقط الحساب) بسبب موهبة فطرية جاءت معه منذ الولادة.

لكن عندما نضيف وليد للمعادلة سنضطر لتغيير رأينا، لأنّ الواضح جدًا أنّ سبب تفوّق وليد هو التدريب اليومي الكثيف، حتى إني أغفلت معلومة وهي أنّ معلومات أنس عن الأعداد الأولية والمربّعات والمكعبات مثلًا لم يخترعها بنفسه ولم تأتيه بالفطرة بل علّمته إياها بنفسي.

إذن أين الموهبة وأين الفطرة؟

لن أظلم الموهبة وأقول إنّ بلا أثر وليست تعود بأيّة فائدة، بل سأقول إنّ لدى وليد وأنس استعداد فطري أوّلي لتقبّل الرياضيات، لكن العبء الأكبر يقع على عاتق الشخص نفسه (وعائلته في حال كان طفلًا) أي مقدار التدريب الذي تلقّاه ومقدار الممارسة التي مارسها.

كانت علاماتي في المدرسة في الرياضيات دومًا تامّة، لكن كنتُ أمارس الرياضيات أكثر من أيّة مادّة أخرى، بالطبع لو لم يكن لديّ استعداد فطري لتقبّل الكمّ الكبير من الملل والتجريد لم أكن لأستطيع ممارسة الرياضيات، كنتُ أبحث وأحلّ أي مسألة أجدها أمامي، وكانت كتبي تهترئ، وأحاول في كلّ سنة أن أنجز عددًا قياسيًا من المسائل، في ذلك الوقت لم يكن متوفّرًا الإنترنت فكنتُ أستعين بأسئلة الامتحانات للمدارس الأخرى عبر بعض الأصدقاء من أجل زيادة كمية المسائل التي أحلّها، في الطريق وأنا أمشي أحاول بناء علاقات بين الأعداد التي تظهر أمامي على لوحات السيارات.

جعلتُ الرياضيات أسلوب حياتي، وأنا الآن مدرّسًا للرياضيّات، أستخرج مسألة من كلّ شيء حرفيًا، أمامي ساعة حائط، هيّا احسب قياس الزاوية بين عقرب الدقائق وعقرب الساعات، لكن في غرفة أخرى لدينا ساعة رقمية، حسنًا لا تخف لدينا مسألة مناسبة، افرض أنّ الساعة هذه ليست حقيقية بل هي خيال للساعة الحقيقة المعكوس عبر مرآة شاقولية، الآن احسب كم سيكون الوقت بعد ثلاثين دقيقة، ذهبنا إلى حفلة عيد ميلاد صديق، يحضر الحفلة ثلاثون شخصًا، احسب احتمال أن يكون أحدهم قد ولد بنفس هذا اليوم، ونحن نقطّع الكعكة ما هو أقلّ عدد من الحركات اللازمة لتقطيعها إلى 32 قطعة… هل تريد المزيد؟

في النهاية ألخّص كل ما سبق بما فيها جواب سؤالك بكلمة واحدة هي الممارسة، وإن شئت قُل التدريب.

في كلّ دقيقة يتحرّك عقرب الدقائق 6 درجات، ويتحرّك عقرب الساعات نصف درجة.
وهذا واضح لأنّ عقرب الدقائق ينجز دورة كاملة (360 درجة) خلال ساعة كاملة أي 60 دقيقة، بينما يستغرق عقرب الساعات 12 ساعة أي 720 دقيقة لإنجاز دورة كاملة.

النقطة الأهمّ في حلّ هذه المسألة هي إدراك التالي:
للوهلة الأولى نعتقد أنّ أيّ زاوية بين عقربي الساعات والدقائق ستتكرّر كلّما دار عقرب الدقائق نصف دورة أي 180 درجة، مثلًا تكون الساعة 3:00 والزاوية 90 درجة، يظنّ الشخص المتعجّل أنّ الساعة 3:30 أي بعدما دار عقرب الدقائق نصف دورة وانقلبت الزاوية من الأعلى إلى الأسفل، ستصنع عندها العقارب زاوية 90 درجة للمرة الثانية، لكن نسي أنّ عقرب الساعات قد تحرّك خلال هذه النصف ساعة 15 درجة بالتالي الزاوية عند الساعة 3:30 ستكون 75 درجة، ونحن بحاجة لـ15 درجة إضافية حتى نصل إلى 90.

هنا تنشأ مشكلة جديدة، وهي أنّنا ببساطة يمكن أن ننتظر عقرب الدقائق ليتحرّك 15 درجة وهذا ما يستغرق دقيقتين ونصف، المشكلة هي أنّ عقرب الساعات لم يبقَ في مكانه بل تحرّك بدوره درجة وربع الدرجة، مرّة جديدة علينا منح عقرب الدقائق عدّة ثوان كي يعوّض النقص، والذي سيخلص نقصًا جديدًا أصغر هذه المرّة بسبب تحرّك عقرب الساعات، وهذا ما يذكّرنا بمفارقة زينون.

ما هو الحلّ؟

سنلجًا للمعادلات، لا تخف المعادلة بسيطة جدًا
سنفرض أنّ قياس الزاوية بين العقربين x والزمن اللازم كي تتكرّر نفس الزاوية بين العقربين للمرّة التالية مباشرةً أي خلال نفس الساعة هو t مقدّرًا بالدقائق
سنشكّل المعادلة التالية

x+6t=x+t/2+180

لا تنسَ أنّ عقرب الدقائق يتحرّك 6 درجات كلّ دقيقة، وعقرب الساعات يتحرّك نصف درجة كلّ دقيقة

t=360/11=32.72~

هل تذكر المناقشة السابقة عندما وصلنا إلى أنّه بعد دقيقتين ونصف الزائدة فوق النصف ساعة سنحتاج بضعة ثوان، لقد وصلنا إلى نفس النتيجة بالحساب الدقيق هنا.
أي أنّه كل 32.72 دقيقة (مكتوبة بالحساب المئوي، وتعادل بالحساب الستيني 32:43) سيحصل تناظر أي ستُكرّر نفس الزاوية التي كانت قبل هذا الفاصل الزمني.
لاحظ حتى الآن لم تدخل الزاوية 90 درجة في الحسابات، بالتالي يصلح هذا الحل لو كان السؤال حول أيّة زاوية كانت، والسؤالين الأكثر شيوعًا بعد سؤال التعامد هما متى ينطبق العقربان (أي يشكّلان زاوية صفر) ومتى يستقيم العقربان (أي يشكّلان زاوية 180 درجة)، لكن عند التطابق أو الاستقامة سيكون عدد الحالات نصف عدد حالات الزوايا الأخرى.
أخيرًا إلى الناتج النهائي
في يوم كامل، أي 24 ساعة، التي تعادل 1440 دقيقة

1440/360/11=44

ملحوظة1
السؤال من الأسئلة الكلاسيكية التي تختبر الانتباه، وعادةً يخطئ الكثيرون ويجيبون 48 مرة بدلًا من 44 أي بزيادة مرتين في كل 12 لأنّهم يعتقدون أنّ العقربين يشكلان زاوية قائمة مرتين كل ساعة بينما اكتشفنا بالحساب أنّهما يستغرقان أكثر من 32 دقيقة لتكرار الزاوية القائمة وهذا يعني أنّهما لن يستطيعا تشكيل زاوية قائمة مرتين خلال 60 دقيقة.

ملحوظة2
يوجد طريقة نقاش تعتمد الكلام فقط دون حسابات لكنها تبدو غير مقنعة للكثيرين، حيث نقول حتى يتمّ عقرب الساعات دورته يكون قد دار عقرب الدقائق 12 مرة، وبذلك نكون قد فقدنا دورة كاملة وهي التي كان عقرب الساعات يقضمها جزءًا تلو جزء في كلّ ساعة وبذلك فإنّ العقربين يكرران جميع الأوضاع النسبية بينهما 22 مرة كل 12 ساعة وليس 24 مرة.

ملحوظة3
بالرغم من أنّ الكلام الوارد في الفقرة السابقة قد يبدو غير مقنع إلا أنّه وبالاستعانة بالرسم البياني التالي سيبدو واضحًا، لكن مرة أخرى سنكون قد استخدمنا الحسابات وليس الكلام، الحسابات والمعادلات هنا بشكل آخر هو الخطوط البيانية.

ملحوظة4
يخطئ البعض في تعليل أنّ الأوضاع النسبية للعقربين تتكرّر 22 مرة كل 12 ساعة بالقول إنّ الأوضاع النسبية تتكرّر 24 مرة لكن الساعة 3:00 والساعة 9:00 تُحسبان مرّتين ويجب حذف التكرار، وهذا خاطئ، وقد علّلنا أعلاه عدد التكرارات بالتفصيل ونزيد عليه القول حتى لو كانت هاتين الساعتين قد تكررتا مرتين فهذا يُحسب لهما لأنّ أساس السؤال مبني على حساب عدد التكرارات للزاوية المعطاة.

ملحوظة5

يمكن الحلّ بطريقة أخرى لكنها طويلة جدًا وهي اعتماد قانون حساب الزاوية بين العقربين لكن مع تعويض الزاوية 90 وإيجاد العلاقة بين الدقائق والساعات
سينتج علاقة نعوّض فيها كل القيم الممكنة للساعات من 1 الى 12 أو من 0 إلى 11

الساعة 12:49:05 تعني الساعة 12 و49 دقيقة و 5 ثوان ولا يجوز إهمال الثواني في هذه الطريقة

للتوضيح فقد حسبت الزاوية بين العقربين عند الساعة 12:49 أي بالضبط 12:49:00 وكانت كما يلي

ملحوظة6

بالإضافة للقانون الوارد أعلاه يوجد موقع بل الكثير من المواقع التي تحسب لك الزاوية بمجرد إدخال قيمة الساعة مثل هذا و مثل هذا

هذا الموقع لمحاكاة وجه الساعة

ما أدرجته في الرابط ليست رياضيات حقيقة إنّما تبسيط للرياضيات الحقيقة

نحن بالفعل ندرس الرياضيات الحقيقة، لكن ما نتعلّمه في المدرسة هو جزء بسيط جدًا من الرياضيات، وهو يساوي بالضبط ما نتعلّمه من الطبّ في كتب العلوم المدرسية، والرياضيات أكبر وأوسع وأشمل وأضخم وأعقد وأجمل بكثير مما رأيت في المدرسة أو الجامعة أو حتى هذه الصور التي تبسّط الرياضيات.

انتشرت في السنوات الأخيرة حمّى "تبسيط الرياضيات" أو "تسهيل الرياضيات" أو ما شابهها من أسماء، لكن المفهوم الذي أقصده هو الاستغناء عن الطرق التقليدية (وهي الأفضل برأيي) في الحساب، بطرق أكثر تعقيدًا وترويجها على أنها أبسط وأسهل وأسرع، مثل الحساب الصيني والحساب الياباني وما إلى ذلك من الأسماء الرنانة.

ولو قارنت أيّة طريقة من هذه الطرق بالطرق التقليدية (وأقصد بالتقليدية أي النموذجية التي نتعلمها في المدرسة) لكانت أكثر تعقيدًا وتستهلك وقتًا أكثر، لكن ليس هذا المهمّ، بل إنّ أسوأ ما في أمر هذه الطرق الجديدة أنّها تلائم حالاتٍ خاصّة فقط، فمثلًا في الضرب السريع لعددين من منزلتين، هناك عدة حيل مستخدمة، لكن كلّ واحدة منها تلائم مجموعة من العمليات فقط، مثل الضرب بـ 11 أو الضرب بعدد بين 90 و 100 أو الضرب بعدد آحاده 5

الآن تصوّر كم من الحالات الخاصّة يوجد، وكم طريقة إضافية عليك أن تحفظ، ورغم ذلك فهناك حالات لا تنتطبق عليها أيّة حالة خاصّة ولا يمكن استخدام أيًا من الطرق الجديدة معها، ويجب استخدام الطريقة النموذجية

لذلك فمن الأجدى برأيي استخدام طريقة واحدة لكلّ الحالات.

بالعودة للمثال الذي أرفقه صاحب السؤال والذي نسخت الصورة منه إلى إجابتي أعلاه، نرى أنّ هذه الصورة لتبسيط مفهوم ضرب كثيرات الحدود، لكنه وكما أسلفت ينطبق على حالة خاصة وهي كثير حدود من حدين فقط مرفوعًا لأسّ واحد ثمّ اثنين ثمّ ثلاثة ثمّ أربعة، ولو سلّمنا جدلًا بأنّ هذا التمصيل مفيد للفهم، فإنّه لا يتعدى الأسّ 4، بينما لو فهم الدارس الأصل النظري بشكل مجرّد فإنّه قادر على إجراء أيّة عملية مشابهة لو كان الأس 100 أو 1000، وهذا بالفعل ما يحصل، فنجد أسئلة على غرار "أوجد أمثال الحدّ الذي يكون فيه a مرفوعًا للأسّ 37" وهذا السؤال لا يمكن الإجابة عنه لو تعلّم الدارس بطريقة بسطة بالصورة السابقة، إنما يجب أن يدرس ثنائي الحدّ نيوتن الكرخي ومثلث باسكال والتوافيق الخ.

أنا أدرك أنّ الكثيرين يُصابون بخيبة أمل عندما يدرسون أمورًا في الرياضيات يظنّون أنّها لا تمتلك تطبيقات في الحياة العملية، لكن أحبّ أن أطمئنكم بأنّ معظم ما ندرسه في الرياضيات له تطبيقات مباشرة في الحياة، لكن هذه التطبيقات معقّدة من جهة وكذلك طرح مسائل تطبيقية في المناهج المدرسية هو من الأمور الصعبة على مؤلّفي المناهج المدرسية من جهة ثانية، أما من جهة ثالثة، فإنّ أيّة مسألة رياضيات تطبيقية تحتاج التعرّف بالكثير من القواعد والمفاهيم، فليست كل الرياضيات حساب مساحة قطعة أرض أو حساب محيط مدرسة بشكل حرف L.

أخيرًا أذكّر بأنّ الرياضيات المجرّدة هي أحلى ما يمكن دراسته في الرياضيات وأحيلك إلى إجابتي عن التبولوجيا وأجابتي عن الرياضيات البحتة.

الحدثان المستقلان

حدثان لا يؤثر وقوع أحدها على احتمال وقوع الآخر

مثال: راميان يرميان على هدف

احتمال اصابة الرامي الأول للهدف 25%

احتمال إصابة الرامي الثاني للهدف 50%

لكن سواء أصاب الأول الهدف أم لم يصبه فإنّ احتمال إصابة الثاني للهدف لن يتغير وكذلك العكس

هذان حدثان مستقلان

الحدثان غير المستقلين

حدثان يؤثر وقوع أحدهما في احتمال وقوع الآخر

مثال: رمي حجر نرد

احتمال الحصول على عدد زوجي 50%

احتمال الحصول على عدد أولي 50%

احتمال الحصول على عدد فردي 50%

الأحداث السابقة غير مستقلّة لأن وقوع أحدها سيوثّر في الأخرى

مثلا لو حصلنا على عدد زوجي فلن نحصل على عدد فردي أو الحصول على عدد أولي فيه تداخل مع العدد الزوجي ومع العدد الفردي

الحدثان المتنافيان

هما حدثان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر

مثال: رمي قطعة نقود

الحصول على وجه كتابة يعني دومًا أنه لن نحصل على وجه الشعار والعكس صحيح

الحدثان (كتابة) و (شعار) حدثان متنافيان

مثال آخر: في رمي حجر نرد

الحصول على عدد زوجي ينافي الحصول على عدد فردي

أي حدثان يستحيل أن يقعا معًا

بينما الحدثان غير المستقلين يمكن أن يقعا معًا

يمكنني الاستعانة بمخطط بسيط لتوضيح الفرق بين هذه الأحداث

لاحظ في الحالة الأولى لا يوجد خط أحمر يجمع الحدثين معًا، وأقصد بالخطّ الأحمر مجموعة فضاء العينة، فهنا يمكن أن يكون الحدثان أي حدثين لا علاقة لهما ببعض، مثل حدث هطول المطر وحدث ربح أنس في اليانصيب.

في الحالة الثانية كلّ من الحدثين موجود ضمن إطار أحمر وهو فضاء العينة الشامل مثل المثال المذكور أعلاه عن حجر النرد.

في الحالة الثالثة الحدثان يشكلان بمجموعهما كلّ فضاء العينة، مثل حدث هطول مطر وحدث عدم هطول مطر، كلاهما يشكلان جميع الحالات الممكنة فلا يمكن أن نحصل على حدث لا يتحقق فيه لا الهطول ولا عدم الهطول، وكذلك لا يمكن تحقق الحدثان معًا.

نستفيد من الأحداث المتنافية في حساب احتمالات أحداث صعبة الحساب، مثل مسألة عيد الميلاد.

أجبتُ جزئيًا عن هذا السؤال في عدّة مقالات، وسألخّص الجواب هنا

في مقال هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟ سابقة أم لاحقة للوجود الإنساني! تبيّن لي أنّ الرياضيّات أقدم من الوجود الإنساني، ولأعرض مثالًا بسيطًا للغاية، وهو قبل مئات ملايين السنين عندما كانت عائلة الديناصورات الجديدة المؤلّفة من أب وأم ثمّ وضعت الأم بيوضها، وفقست فيما بعد لتنتج ديناصورين جديدين، ما هو عدد أفراد العائلة؟ لقد أصبح 2+2=4 أي إنّ الحساب (وهو جزء من الرياضيات) كان موجودًا منذ ذاك الزمن، ولو بحثنا أكثر سنجد الكثير من الأمثلة، ولو أردنا ربط الموضوع فقط بالبشر، ف بالتأكيد إنّ البشر الأوائل استخدموا الحساب أثناء الصيد وتقسيم الغنائم منذ فجر البشرية قبل آلاف السنين من ظهور بوادر الحضارة.

بل أكثر من ذلك إنّ تطوّر البشرية والمجتمعات والحضارات ارتبط ارتباطًا وثيقًا بتطوّر الرياضيّات، وقد يقول قائل، إنّ تطوّر الرياضيات بالتوازي مع تطور البشرية لا يعني أنّ الرياضيات كانت عاملًا مؤثرًا، وهذا الكلام ظاهريًا صحيح، لكن سنكتشف بعد قليل كيف أنّ الرياضيّات ستكون على الدوام سببًا في دفع عجلة الحضارة للأمام.

وهنا، يطفو للسطح السؤال التقليدي حول الرياضيّات، وهو: لنسلّم بأنّ الرياضيّات مفيدة في الحسابات وغيرها، لكن ما أهمّيّة الرياضيّات البحتة؟ ولماذا يضيّع الرياضيون وقتهم فيها، وهذا ما أجبت عنه بالتفصيل هنا إجابة ‏راغب بكريش (Ragheb Bakrich)‏ على ما هي الرياضيات البحتة (اشرحها وكأني في الخامسة)؟ وكذلك في مقال ما هي أهمية الرياضيات البحتة؟ وسأوجز النتيجة التي وصلت إليها هنا.

الرياضيات البحتة هي جزء أساسي من الرياضيات، بل هي أحد أعمدة الرياضيات ورافد لا يمكن تعويضه بأيّ شكلٍ من الأشكال للأفكار والنظريّات الجديدة، هي باختصار المطبخ السرّي للرياضيّات، ولنا تجارب كثيرة في هذا المجال، ف مثلًا المصفوفات والأعداد العقدية ونظرية البيان كلها من الفروع التي وُلدت في هذا المطبخ السري ثمّ وجدت طريقها لتطبيقات هائلة في العلوم الحديثة خاصّة في الحوسبة والذكاء الاصطناعي.

لاحظ عزيزي السائل أنّي ومن خلال هذه الفقرات أنّي أجيب بشكل غير مباشر عن طريقة استفادة المجتمع من الرياضيات.

لنتابع في تطبيقات الرياضيات، ولنتجاوز الأمثلة التقليدية التي تتحدّث عن أهمّية الرياضيات في البرمجة والحوسبة، فقد تناولت عدّة أمثلة أخرى في مقال أين نرى الرياضيات والقوانين الرياضية في حياتنا، وكيف أصبحت جزءًا لا يتجزأ من أمورنا اليومية مثل الموضوع الطريف "هندسة سيارة الأجرة" وهو بحث مهمّ جدًا من الأبحاث التي تتناولها الرياضيات، والذي يحلّ مشاكل متعلّقة بالخرائط ورسم مسارات الوصول بين نقطتين، وجميعنا استخدمنا أو نستخدم بشكل يومي خدمات تعتمد على هذا البحث أثناء تجوالنا مشيًا على الأقدام أو أثناء قيادة السيارات، بل وحتى أثناء ركوبنا للمواصلات العامة، حيث يرسم لنا تطبيق الخرائط عدة مسارات ويقارن بينها من حيث الوقت والمسافة والكلفة، وأنا أجزم بأنّ الغالبية العظمى ممّن يستخدمون هذه الخدمات لا يعلمون أنّ للرياضيّات نصيب الأسد من كمية العمل التي تجري في المُخدّمات التي تزوّدنا بالمعلومات، بل إنّه حتى الأجهزة التي نعمل عليها كالهاتف النقال وأبراج التغطية 4G تعمل بشكلٍ أساس اعتمادًا على الرياضيّات.

نستطيع بالاعتماد على الرياضيات وخاصّة علم الإحصاء إيجاد حلول مجتمعيّة كثيرة جدًا، فالإحصاء حاليًا هو مورد الرئيس للمعلومات التي يستخدمها صنّاع القرار وصائغو السياسات العامّة والمخطّطون على مستوى الدولة أو العالم.

هل لك أن تتخيّل أنّ طلاب الفروع الطبيّة بمختلف اختصاصاتهم من الطبّ البشري إلى الصيدلة والتمريض يدرسون أثناء سنواتهم الجامعيّة الأولى موادّ متعلّقة بالإحصاء والتحليل وبعضهم يدرس القليل من التكامل والتفاضل.

عملتُ لعدّة سنوات في الزخرفة والخطّ العربي، وكان معلّمي الخطّاط الأستاذ عبدالحميد شريف، من أبرع الخطاطين في مدينة حلب السورية، ولديه الكثير من الأعمال في زخرفة المساجد واللوحات المرمريّة الضخمة بخطّ الثلث خاصّة، وقد علمتُ معه في زخرفة عشرات القصور في ضواحي حلب، رغم صغر سني في ذاك الوقت إلا أنّي لاحظتُ عاملًا مهمّا من عوامل نجاحه ودقّة أعماله، وهو براعته في الهندسة والرياضيات (حتى إنّه كان مدرّسًا للرياضيات قبل أن يتفرّغ لتدريس الخطّ العربي)، كان لبراعته في الرسوم الهندسة واستخراج النسب والكسور المناسبة أهمية بالغة في خروج اللوحات بتناسق رائع يوحي للناظر بأنّ هناك جمالًا في اللوحة لكن لا يعلم السبب.

وفي هذا الخصوص أرشّح كتابًا جميلًا جدًا عن علاقة الفن بالرياضيات Math Art حيث يعرض الكتاب بشكلٍ لا لبس فيه أنّ الرياضيات عامل مهمّ جدًا من العوامل المؤثّرة في الفنّ والمُشَكّلة له أيضًا.

مثلًا ستجيبك الرياضيات عن أسئلة بسيطة للغاية إلا أنّها تثير فضولنا البشري مثل إجابة ‏راغب بكريش (Ragheb Bakrich)‏ على لماذا قسم اليوم إلى 24 ساعة؟

وستتعرف بوساطة الرياضيات على معلومات قد لا تلقي لها بالًا إلا أنّ لها أثرًا كبيرًا في الاقتصاد مثل كلفة عيد الحب 2020 و أكثر الدول إدمانًا على القهوة و تركيا في المرتبة الأولى عالمياً باستهلاك الشاي

وستحزنك الرياضيات كثيرًا (ليس عندما تشاهد علامتك في الامتحان) بل عندما ترى مثل هذا التقرير الشركات المتسببة في أكبر نسبة من التلوث البلاستيكي في العالم وهذا التقرير أين يؤدي التلوث الناتج عن حركة المرور إلى ربو الأطفال

لكن ستأخذك الرياضيات في عوالم موازية وتريك العالم من منظور مختلف تمامًا يشبه ما تراه في أفلام الخيال العلمي عندما تتعرف بالتبولوجيا إجابة ‏راغب بكريش (Ragheb Bakrich)‏ على ما هي الطوبولوجيا؟

قد يتسبّب الاستخدام غير المنضبط للرياضيّات في معضلات أخلاقية، وقد أشرتُ لإحدى هذه المعضلات في مقال راغب بكريش: المعضلة الأخلاقية لاستخدام بيانات اللاجئين السوريين في الأبحاث حيث استخدم مجموعة من الباحثين بيانات لاتّصالات السوريين في تركيا في أحد أبحاثهم، لكن وربّما بدون قصد أو دون انتباه تسبّب ذلك في الكشف عن أماكن تمركزهم وتحرّكاتهم، وكثافته والكثير من البيانات الزمانية والمكانية والتي تُعدّ وبلا جدال من الأمور الخصوصيّة التي يجب على شركات الاتّصالات عدم البوح بها لطرف ثالث.

من المعضلات التي يمكن أن يتسبّب بها التفكر الرياضي المادّي البحت معضلة شهيرة يدرسها علماء النفس هي معضلة العربة - ويكيبيديا لكن يغيب عن الكثيرين أنّ أصل المشكلة هو رياضي، حيث يقع الإنسان في حيرة من أمره عندما يتعامل مع البشر كأرقام، ونفس هذه المشكلة هي حاليًا من أعقد المشاكل وأكثرها بحثُا في ظلّ تطوّر تقنيات القيادة الذاتية والسيارات ذاتية القيادة، حيث الجدل محتدم على أشدّه بين الشركات المصنّعة بكلّ أقسامها التقنية والميكانيكية والبرمجية وبين المشرّعين، ومن الأمثلة الجزئية لهذه المشاكل، ماذا يتوجب على السيارة أن تفعل حين تتعطّل الفرامل ويكون أمام السيارة شخص يعبر الشارع من مكان غير مخصص لمرور المشاة، وداخل السيارة شخص واحد فقط؟ وكيف سيتغيّر الحكم لو أنّ المارة كانوا اثنان أو كانوا نساء أو كانوا رجال مسنين أو كان أطفالًا أو كانوا أطباء أو كانوا مجرمين الخ.

شكرًا لصبرك.

حتى الآن لم أصادف صورة واقعية حقيقية واحدة ترافق مقالًا يتحدّث عن الرياضيّات أو تدريسها، سواءً العربية أو الأجنبيّة، وتقريبًا جميع المواقع ترفق صورًا تشبه الصورة الثانية في هذا البوست حيث تخلط عشرات المفاهيم الرياضية والقوانين والرسوم البيانية معًا بصورة يستحيل وجودها في أي درس مهما كان معقّدًا.
قارن بين الصورة الأولى (الواقعية) التي تحوي موضوعًا واحدًا ومسألةً متطابقة مع الرسم المرافق لها، وبين الصورة الثانية التي تحوي رسومًا بيانية لتوابع جيبيّة، وسلاسل مجماعي وجداءات، وتوابع مثلثية عكسية ومتطابقات وتكاملات ثلاثية وديلتوئيد ...الخ

ملحوظة مخرج فيلم interstellar بنى مركبة فضاء بالحجم الحقيقي، ألا تستحق مقالات التعليم والرياضيات صور حقيقية؟؟