دعني أتكلّم عن الرياضيّات كونها اختصاصي الرئيس، ومعظم الأمور تنتطبق على الفيزياء كونها أقرب العلوم للرياضيات وأكثرها اعتمادًا عليها.

الرياضيات بناء منطقي شديد الترابط وشديد الحساسية وذو أساسات عميقة جدًا

هذه ليست عبارة إنشائية أو مديح بالرياضيّات بل إنّ كلّ كلمة منها تدلّ على صفة من صفات الرياضيات التي إن أدركتها فسوف تكون أنت والرياضيات على وِفاق.

الرياضيات بناء منطقي، فلا يوجد شيء بلا سبب ولا يوجد شيء يأتي من العدم أو يذهب هباءً، وهي دقيقة جدًا ولا تخطئ، وكلّما ظننت أن الرياضيات تخطي فأنت مخطئ، وكلما صادفت تناقضًا فاعلم أنّك قد ارتكبت خطأ، قد تظن أنّ هذا يصعّب المهمة، لكن العكس، هذا يجعل الرياضيات أسهل فلا مجال للمفاجآت.

شديد الترابط، هل سمعت بعبارة "كل الطرق تؤدي إلى روما" نعم هي ذاتها في الرياضيات، في البداية تتفرّع شجرة الرياضيات وكلّما تقدّمت في أي فرع من فروعها ستجد فروعًا جديدة وبينما تظنّ أنك تائه في وسط متاهة، تعود هذه الفروع لتلتقي، مما يزيد في جمال الرياضيات ويؤكد على دقتها.

شديد الحساسية، إنّ المنطق العالي والترابط الشديد، لا بدّ أن ينتج عنه حساسية مفرطة، أي إنّ أي خطأ بسيط في مرحلة ما سيؤدي لنتائج كارثية في ما بعد، وكأنه أثر الفراشة الذي يحدث عاصفة.

أساس عميق جدًا، كون الرياضيات العلم (هناك جدل فيما لو كانت علم أم لا - ارجع للإجابة المرفقة أدناه

[1] ) الأكثر تجريدًا وهو صلة الوصل بيننا وبين كل ما هو مجرّد فيجب أن تكون أساساته عميقة جدًا، بمعنى… وكمثال… ما هو العدد؟ ما هو العدد واحد أو ما هو العدد اثنان؟ ما هو العدّ أساسًا؟ هذه المفاهيم شديدة التجريد والتي لا نظنّ أنها من البدهيات هي مفاهيم تحتاج تعريف وتوضيح وتأصيل في الرياضيات حتى ننطلق منها لما هو أعلى.

الآن لنأتي للسؤال، كيف تصبح جيّدًا في الرياضيّات؟

أولاً ليس بالضرورة أن تحبّ الرياضيات أو تحبّ الفيزياء حتى تصبح جيدًا بهما، فهي علوم ذات قوانين وأسس واضحة يمكنك ولها مراجعها وكتبها التأسيسية، التي يمكنك الحصول من خلالها على خارطة الطريق لتشق بها طريقك نحو الإتقان، لكن هل يفيد الحب؟ نعم إذا أحببتها ستقول فيها شعرًا ونثرًا وستكتب المقالات غزلًا فيها، وربّما تبدع، وربّما تكتشف قوانين جديدة أو تضعه قوانين جديدة، ربّما تنقلها إلى مستويات أخرى.

ابدأ بالأساس من أخفض نقطة

لا تهمل التأسيس النظري لأي مسألة أو قانون

امشِ بالتسلسل، لا تقفز

مارس حلّ المسائل بكثرة بكثرة

اربط بين الأسس النظرية التي تعلمتها وبين الحياة العملية

ابحث عن مسائل رياضية من حولك، كمساحة الغرفة وحجم أسطوانة الغاز والزاوية بين عقربي ساعةٍ أمامك

اكتب، الرياضيات لا تُدرس بالنظر

اعمل على إنشاء ملخصاتك بنفسك، ولا تستعن بشيء جاهز

مقالات أخرى للاستزادة

كيف أبدع في الرياضيات؟

هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟ سابقة أم لاحقة للوجود الإنساني!

دراسة الهندسة من الصفر إلى الاحتراف والعلامة التامة في الثانوية

لقد سألت الشخص المناسب (أنا بكلّ فخر) لأنّي أدرّس مادّة الهندسة منذ عدّة سنوات لطلاب الثانوية في تركيا (امتحان القبول الجامعي للطلبة الأجانب في تركيا يوس YOS) وهو يتطلّب دراسة الهندسة من الصفر حتى النهاية (المقصود بالنهاية هي أعلى مستوى في الثانوية)

سأسرد المواضيع التي تجب دراستها بالترتيب -قد يختلف الترتيب قليلًا عند بعض المدرّسين أو في بعض المناهج وذلك بسبب التشابك بين الدروس وسأورد مثالًا عن التشابك أدناه.

1- في البداية كانت النقطة: في هذا الدرس نبدأ بأصغر كائن رياضي هندسي وهو النقطة وننطلق منها إلى بقية المفاهيم الأوّلية كالمستقيم والقطعة المستقيمة ومفاهيم التوازي والتقاطع ثمّ الزوايا وأنواعها، في الفيديو التالي الدرس الأول من كورس كامل في الهندسة

2. مسلّمة إقليدس الخامسة: هذه المسلّمة هي أهمّ المسلّمات وأخطرها، وبتغييرها سننتقل بين الهندسة الإقليدسة (التقليدية التي ندرسها) والهندسات اللاإقليدية (ريمان ولوباتشفسكي) وتُدعى أيضًا "مسلّمة التوازي"

[1] وفيها نؤسّس للزوايا المتساوية والمتكاملة وهذا أمر مهمّ جدًا ورئيس في الهندسة المستوية

3. نظرية المتراجحات في المثلث وتبحث في العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات الزوايا (يمكن تأجليه إلى ما بعد الدرس رقم 8)

4. الخطوط الأساسية في المثلث وتشمل أربعة خطوط هي الارتفاع والمنصف والمتوسط والمحور

5. نظرية فيثاغورس ونظرية إقليدس والعلاقات العددية في المثلث القائم

6. المثلثات الخاصّة: متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع

7. نظرية تالس وتالس في المثلث

8. نظرية المنصّف الداخلي ونظرية المنصّف الخارجي

9. المتوسّط في المثلث

10. تشابه المثلثات

11. تطابق المثلثات

12. مساحة المثلث

13. متوازي الأضلاع

14. شبه المنحرف

15. حالات خاصة من متوازي الأضلاع: المستطيل والمعين والمربع

16. الرباعي بالحالة العامة

17. المضلعات بالحالة العامة

18. الرباعي الدائري (يمكن تأجيله إلى ما بعد الدرس رقم 20)

19. الدائرة: تعريف ثمّ الخطوط الأساسية والزوايا

20. الدائرة: المحيط والمساحة

21. الإحداثيات الديكارتية: تقسيم المستوي إلى أربعة أرباع وتحديد النقاط والإحداثيات وحساب الأطوال

22. معادلة المستقيم

23. معادلة الدائرة

24. معادلة القطع المكافئ

25. معادلة القطع الناقص

26. معادلة القطع الزائد

27. التعريف المشترك للقطوع

28. التحويلات الهندسة: الانسحاب والدوران والتحاكي

29. الأشعة

30. العزم (يعتبره الكثيرون موضوع فيزيائي)

31. الهندسة الفراغية: المستوي ثم المستويات الإحداثية (ثلاثة محاور)

32. الأوضاع النسبية بين المستويات وبين المستقيم والمستوي ونظرية الأعمدة الثلاثة

33. الدوران وتوليد المجسمات (أسطوانة ومخروط الخ)

34. الموشور وأنواعه

35. حالات خاصة من الموشور: متوازي المستطيلات والمكعب والأسطوانة

36. الهرم وأنواعه (مائل وقائم)

37. حالات خاصة من الهرم: رباعي الوجوه والهرم الرباعي المنتظم القائم والمخروط

38. الكرة هندسيًا

39. الكرة تحليليًا

40. توظيف التكامل في حساب المساحات والحجوم والقيم الصغرى والكبرى.

الرياضيات

قد يشعر القارئ بالغرابة أو التناقض لأنّ الرياضيات شرط لازم لتعمل الفيزياء بينما العكس لا، ومنه يستنتج أنّ الرياضيات أسهل من الفيزياء، لأنّ فهم الفيزياء يتطلب فهم الرياضيات والفيزياء، لكن الأمر ليس كذلك.

الفيزياء تحتاج الرياضيات لتعمل وعلماء الفيزياء يحتاجون الرياضيات لإثبات فرضياتهم أو نفيها، لكن هذا لا يعني أنّ دارس الفيزياء يحتاج لفهم عميق بالرياضيات.

يلزم لدراسة الفيزياء بعض الرياضيات وهذه الـ "بعض" لا يلزم فهمها وإتقانها وبرهانها من وجهة نظر رياضياتية، بل استخدام نتائجها، مثلًا لدراسة الحركة الموجية للهواء داخل أنبوب، يلزمنا من الرياضيات المعادلات التفاضلية المثلثية، لكن لا يهتمّ الفيزيائي بكيفية استخراجها أو برهان طريقة حلها، بل يأخذ النتيجة النهاية لعمل علماء الرياضيات ويطبّق عليها شروط مسألته ويحصل على الحل.

مثال آخر يوضّح الأمر كله، نحن نستخدم الحواسيب، لكن لا يلزمنا معرفة بكيفية برمجة نظام التشغيل أو كيفية نقل المعلومات فيما بين المعالج والذاكرة، هذه الأمور يعلمها جيدًا مصمّموا الحواسيب والمبرمجون، بينما نحن يجب أن نعلم كيفية استخدام الحواسيب بما يخدم غرضنا كالكتابة أو تصميم الصور أو الألعاب.

الآن لنذهب للقسم الأصعب من السؤال، لماذا الرياضيات هي الأصعب؟

يمكن اعتبار الأشياء ومن خلفها العلوم والتفسيرات العلمية كطبقات تأتي الواحدة فوق الأخرى، وكلما كانت الطبقة أعمق كان فهمها أصعب، بحيث أنّ الطبقة الأعلى أي الواجهة التي نراها هي الأسهل للفهم أو للتشغيل حتى دون الفهم، مثلًا السيارة، يمكن لمن أخذ عدة دروس في القيادة أن يقودها بشكل صحيح وفعّال، لكن هذا الشخص لا يعلم شيء أعمق من عجلة القيادة، بينما يمكن للميكانيكي أن يفهم كيف تنتقل الحركة من المقود إلى العجلات، ويفهم الكهربائي كيف تنتقل الشرارة من مفتاح التشغيل إلى المحرك، لكن كلّ من الميكانيكي والكهربائي لا يعلمان ما هي الفيزياء أو الكيمياء التي تجعل الحركة والشرارة تنتقلان، المهندس الذي صمّم السيارة -أو مجموعة المهندسين- يعلم ما هي الفيزياء والكيمياء الكامنة خلف ذلك ويعرف كيف تنتقل الإلكترونات من القطب السالب إلى القطب الموجب وكيف تنتقل الحركة بين مسننات المحرك وكيف يدفع احتراق الوقود الأسطوانات التي تسبب في النهاية الدوران الذي ينتقل أفقيًا وشاقوليًا ليصل في النهاية إلى العجلات، كل أولئك الأشخاص لا يعلمون ما هي القوى التي تجعل الإلكترون ينتقل بالاتجاه المذكور وليس عكسه، ولا يعلمون -على المستوى الذري- لماذا تتماسك ذرات النيكل بطريقة مختلفة عن تماسك ذرات الألومونيوم ممّا يحتّم على المصممين اختيار هذا المعدن أو ذاك من أجل الأجزاء المختلفة من السيارة، أيضًا جميع ما سبق لا يدركون الرياضيات النظرية وراء كل جزء، بدءًا من الرياضيات اللازمة لنظرية الكم صعودًا للتكامل والتفاضل الذي يصف معادلات الحركة داخل أجزاء السيارة أو على الطريق، بالمناسبة هذا أسهل جزء من الرياضيات.

بشكل عام أي جزء من الرياضيات تستيطع الآلات الحاسبة إنجازه يمكنني القول إنّه سهل بلا تفكير، وتكمن صعوبته في السلسلة الطويلة من الحسابات وليس في الفكرة الرئيسة له، بينما الرياضيات المجرّدة كالجبر الخطي والتوبولوجيا ونظرية البيان فهي أمور لا يمكن للآلات فهمها ولا يمكن سوى للعقل البشري فهمها وهنا تكمن صعوبة الرياضيات وجمالها.

لا

الرياضيات أضخم وأعمق بكثير مما يمكن تصوّره، وهي ارتباط لكيانات عديدة بشكل متسلسل، هرمي تارةً وشجري تارة أخرى.

في يومين لدينا 48 ساعة نصفها نوم واستراحات يبقى 24 ساعة، في 24 ساعة يمكنك أن تصبح جيدًا في عدة مواضيع لا أكثر وليس في الرياضيات كلها، وأنا حين أقول الرياضيات كلها لا أقصد الرياضيات كلها على الإطلاق، لكن أقصد ما يمثّل كل الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي أو حتى طالب جامعي.

الرياضيات بالنسبة لطالب ابتدائي هي: العدّ والعمليات الحسابية الأربعة والكسور والتعرف على الأشكال الهندسية والزوايا وحساب الوقت وحساب المعدل.

الرياضيات بالنسبة لطالب إعدادي هي: كل ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة المستوية وصولًا إلى نظرية فيثاغورس وحساب مساحات الأشكال الهندسية الشهيرة، ومبادئ في الإحصاء بما فيها رسم المخططات البيانية، ومبادئ الاحتمالات، وحلّ المعادلات من الدرجة الثانية، وحلّ جمل المعادلات بمجهولين ورسم الخط البياني للتوابع البسيطة، والتوسع في الكسور والتناسب.

الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي هي: كلّ ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة الفراغية وحساب مساحات وحجوم المجسّمات الأساسية، مبادئ في الأعداد العقدية والعمليات عليها، مبادئ في الاشتقاق والتكامل وتطبيقاتهما، مبادئ في اللوغاريتم، حساب المثلثات والمعادلات المثلثية، مبادئ في النهايات ودراسة تغيرات الدوال، التوسع قليلًا في الاحتمالات والإحصاء ومبادئ العدّ، مبادئ في سلاسل المجاميع والمضاريب.

الآن لنرى ماذا يمكن لطالب أن يفعل في 24 ساعة فعلية

إذا كان الطالب جيدًا بما يكفي لاستيعاب المواضيع وربطها ببعضها والبناء عليها بسرعة دون الحاجة لحلّ مئات الأمثلة والاكتفاء ببضعة أمثلة لكلّ فكرة فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الابتدائية، وإن افترضنا أن الطالب في الإعدادية وكان متقنًا لكلّ ما درسه في الابتدائية فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الإعدادية أيضًا.

أمّا موضوعات الثانوية فإنّه حتى لو كان متقنًا لكلّ ما درسه في الإعدادية فإنّه لن يستطيع خلال هذا الوقت إتقان أكثر من ربعها.

وأكرّر: ضمن ظروف عديدة أهمها قدرة الطالب على الاستيعاب السريع والبناء المتسلسل للموضوعات التتالية، مع العلم أنّ العديد من المواضيع ليس هرمية بل هي شجرية، مثلًا من أجل دراسة تحولات تابع يجب إتقان عدة أمور مثل الاشتقاق والنهايات وهذين موضوعين منفصلين يلتقيان في دراسة التحولات.

لديّ ولد عمره 10 سنوات (أحمد) وآخر عمره 8 سنوات (أنس)

أنس يحبّ الرياضيات ونظنّه مبدعًا فيها أكثر من أحمد رغم أنّ علامات أحمد في المدرسة أفضل من علامات أنس.

أعطِ لأنس مهامّ حسابية فينجزها ذهنيًا، وهو يعرف الضرب والقسمة والأسّ والعدد الأوليّ.

في المسائل اللفظية يجد صعوبة في تفسير المطلوب.

صديقي لديه ولد عمره 7 سنوات (وليد)

وليد وبفضل تدريب والده المتواصل له، الآن يستطيع حلّ معادلة من الدرجة الأولى وحساب زوايا المثلث وإجراء عمليات ضرب طويلة، أنا أرى أنّه مبدعًا في الرياضيات بدرجة تفوق أنس كثيرًا.

لنأتي للتحليل

لو نظرنا إلى أنس وأحمد لقلنا إنّ إتقان الرياضيات (وفي هذه المرحلة نغامر بقولنا رياضيات رغم أنّ ما يمارسونه هو فقط الحساب) بسبب موهبة فطرية جاءت معه منذ الولادة.

لكن عندما نضيف وليد للمعادلة سنضطر لتغيير رأينا، لأنّ الواضح جدًا أنّ سبب تفوّق وليد هو التدريب اليومي الكثيف، حتى إني أغفلت معلومة وهي أنّ معلومات أنس عن الأعداد الأولية والمربّعات والمكعبات مثلًا لم يخترعها بنفسه ولم تأتيه بالفطرة بل علّمته إياها بنفسي.

إذن أين الموهبة وأين الفطرة؟

لن أظلم الموهبة وأقول إنّ بلا أثر وليست تعود بأيّة فائدة، بل سأقول إنّ لدى وليد وأنس استعداد فطري أوّلي لتقبّل الرياضيات، لكن العبء الأكبر يقع على عاتق الشخص نفسه (وعائلته في حال كان طفلًا) أي مقدار التدريب الذي تلقّاه ومقدار الممارسة التي مارسها.

كانت علاماتي في المدرسة في الرياضيات دومًا تامّة، لكن كنتُ أمارس الرياضيات أكثر من أيّة مادّة أخرى، بالطبع لو لم يكن لديّ استعداد فطري لتقبّل الكمّ الكبير من الملل والتجريد لم أكن لأستطيع ممارسة الرياضيات، كنتُ أبحث وأحلّ أي مسألة أجدها أمامي، وكانت كتبي تهترئ، وأحاول في كلّ سنة أن أنجز عددًا قياسيًا من المسائل، في ذلك الوقت لم يكن متوفّرًا الإنترنت فكنتُ أستعين بأسئلة الامتحانات للمدارس الأخرى عبر بعض الأصدقاء من أجل زيادة كمية المسائل التي أحلّها، في الطريق وأنا أمشي أحاول بناء علاقات بين الأعداد التي تظهر أمامي على لوحات السيارات.

جعلتُ الرياضيات أسلوب حياتي، وأنا الآن مدرّسًا للرياضيّات، أستخرج مسألة من كلّ شيء حرفيًا، أمامي ساعة حائط، هيّا احسب قياس الزاوية بين عقرب الدقائق وعقرب الساعات، لكن في غرفة أخرى لدينا ساعة رقمية، حسنًا لا تخف لدينا مسألة مناسبة، افرض أنّ الساعة هذه ليست حقيقية بل هي خيال للساعة الحقيقة المعكوس عبر مرآة شاقولية، الآن احسب كم سيكون الوقت بعد ثلاثين دقيقة، ذهبنا إلى حفلة عيد ميلاد صديق، يحضر الحفلة ثلاثون شخصًا، احسب احتمال أن يكون أحدهم قد ولد بنفس هذا اليوم، ونحن نقطّع الكعكة ما هو أقلّ عدد من الحركات اللازمة لتقطيعها إلى 32 قطعة… هل تريد المزيد؟

في النهاية ألخّص كل ما سبق بما فيها جواب سؤالك بكلمة واحدة هي الممارسة، وإن شئت قُل التدريب.

إنّها بالفعل كذلك.

أنا مثلك بالفعل أرى الرياضيات سهلة، بينما يراها الكثيرون والغالبية العظمى من الناس صعبةً، وبالرغم من أنّ التوسّل بالأكثرية هو خطأ منطقي، لكن سأخاطر وأقول إنّ رؤية غالبية الناس للرياضيات بأنّها صعبة يؤكّد صعوبتها، وذلك لأنّ السهولة والصعوبة هي أمرٌ نسبيّ، بالتالي نستطيع استبيان آراء البشر حولها.

أما لو قال نفس الأشخاص بنفس النسبة السابقة إنّ الرياضيات مخطئة في قضية ما، ف لن آخذ بآرائهم، لأنّ الخطأ والصواب في الرياضيات ليسا نسبيّان بالعموم (يحتاج الأمر لتفصيل مستفيض حول النسبية في الرياضيات).

إذن، الرياضيات صعبة، لذلك يراها الناس على حقيقتها الصعبة، لكن لماذا هي صعبة؟

في الحقيقة توجد عدّة أسباب لذلك، أوّلًا البناء المنطقي الصارم للرياضيات يُعدّ من أهمّ العوامل التي تجعلها صعبة الفهم أو الممارسة، مثلًا انظر إلى هذا الرباعي

لو لم أكن رياضيًا لقلتُ إنّه مربّع، حتّى المهندسون قد يخطئون ويقولون إنّه مربّع، ف هم يثقون بحواسّهم أكثر من الرياضيين، وقد تجد شخصًا يحاول أن يكون أكثر دقّة من الآخرين فيقول إنّه مستطيل (وبذلك يشمل المربّع لأنّه حالة خاصّة من المستطيل) فإنّي أرى استطالة في أحد أبعاده أكثر من الآخر، لكن وللأسف هذا الشكل بالنسبة للرياضي ليس مربّعًا وليس مستطيلًا وليس متوازي أضلاع، إنّه بالنسبة لي شبه منحرف قائم، فهو يحوي ضلعين متوازيتين فقط، ونحن لا نعتمد على النظر أبدًا في البراهين، ولا حتى على القياس بأدوات القياس (إلا في حالات خاصّة عندما يكون الدرس بالأصل عن استخدام أدوات القياس) فأدوات القياس من اختصاص الفيزيائيين، والنظر من اختصاص الفنانين، أما نحن فنعتمد البراهين الرياضية والمنطقية والمتسلسلة.

إذن أوّل صعوبة في الرياضيّات هي أنّها تضرب عرض الحائط بحواسك.

ليس الحواسّ كالنظر فقط، بل حتّى الحواسّ الرياضيّة (لو كانت هناك حواسّ رياضيّة)

انظر إلى هذا التمرين

بنظرة أوّليّة قال البعض إنّ قيمة c تساوي 2 وقيمة a,b هي 1,5 على الترتيب، لكن عند المقارنة مع الجدول الأيسر، نكتشف الخطأ، بل ويقرّر بعض التلاميذ أنّ التمرين خاطئ، لكن مجدّدًا لا يوجد خطأ وكلّ مافي الأمر أنّ الحدس خاننا، ويجب أن نتبّع الطريقة الرياضيّة النموذجية للحلّ وهي تشكيل المعادلات وحلّها حلًّا مشتركًا، ومنه سنكتشف أنّ قيم المجاهيل ليست أعدادًا صحيحة بل كسرية والسؤال صحيح.

ثانيًا، الممارسة ثمّ الممارسة ثمّ الممارسة

يظنّ الكثيرون أنّ ما نتلقّاه في المدرسة كافٍ لتعبيد طريق الرياضيّات، بل ويقارنها باللغة العربية مثلًا ويقول لدينا حصص مدرسية للرياضيات واللغة العربية بقدرٍ متساوٍ فلماذا تحصيلنا في اللغة العربية أعلى منه في الرياضيات؟

يا سيّدي هذا كلامٌ منقوص، فأنتَ تمارس اللغة العربية في كل أركان حياتك ولو أنّها ليست اللغة العربية الفصحى، إلا أنّك حين تقرأ تعليمات استخدام الدواء تقرأها بالعربية وليس بالرياضيات، بالطبع أنت تمارس الرياضيات دون أن تشعر في كثير من جوانب الحياة، لكنّك تمارس جزءًا بسيطًا جدًا جدًا يُسمّى الحساب (وسأعود لهذه النقطة بعد قليل) والنكتة في هذا الأمر ليست أنّ الحساب جزء صغير جدًا فحسب، بل إنّ هذا الجزء على ضآلته في طريقه للاضمحلال بسبب الآلات الحاسبة.

لو أردت تعلّم العزف على البيانو مثلًا، هل ستكتفي بحصص الموسيقا مع مدرّس الموسيقا؟ ولو أردت أن تصبح لاعب كرة سلة ماهر برمي الرميات الحرّة هل ستكتفي بحصص التدريب مع الفريق؟ في كلا المثالين الجواب لا، لأنّ التدريب الذي تتلقاه مع المجموعة لن يميّزك بشيء وما يميّزك هو التدريب الذي تنجزه فيما بعد بمفردك سواء في الموسيقا أو الرياضية أو الطبخ أو غيره، وكذلك الأمر ينطبق على الرياضيات.

فالصعوبة الثانية في الرياضيّات هي أنّها مثل أيّة مهارة حياتيّة بحاجة للممارسة وليست موهبة محضة.

ثالثًا، هل يمكنك تخيّل حجم الرياضيات؟

حتّى الرياضيين أنفسهم لا يعرفون كم هو حجم وامتداد الرياضيات، توقّف قبل أن تهزأ بي، فأنا أيضًا لا أعلم حجم الرياضيات لكني لا أدّعي أنّي أعرفه، بل أقول إنّها أكبر مما تتخيّله، فالرياضيات بحجم الكون، وحيثما وُجد الكون وُجدت الرياضيات، فالرياضيات ليست اختراعًا بشريًا (هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟ سابقة أم لاحقة للوجود الإنساني!)

الرياضيات وعلى عكس ما يعتقد الكثيرون في تجدّد مستمرّ، فهي لا تقتصر على نظريات فيثاغورس وإقليدس والتكامل والتفاضل، هناك فروع كبيرة في الرياضيات لا نسمع عنها شيء في المدارس مثل التبولوجيا (إجابة ‏راغب بكريش (Ragheb Bakrich)‏ على ما هي الطوبولوجيا؟) ونظرية الألعاب ونظرية البيان والهندسات اللاإقليدية، هل تعلم أنّ هناك ما يُسمّى بهندسة سيارة الأجرة، هناك أكثر من سبعين مسألة في الرياضيات غير محلولة، من بينها سبع مسائل إن حللت إحداها تحصل على مكافأة مليون دولار.

هل سمعت بالكومبيوتر الكمومي جوجل تزعم إحراز السيادة الكمية على العالم

هذا الكومبيوتر الذي أنتجته جوجل ويوجد أجهزة شبيهة له في مؤسسات أخرى مثل IBM وربما بعض الحكومات بشكل سري، يعتمد مبادئ مختلفة عن الكومبيوتر التقليدي الذي يعتمد البوابات المنطقية (بالمناسبة هي جزء من الجبر يسمى الجبر البولياني)، المهمّ هذا الكومبيوتر الخارق يعتمد مبادئ الفيزياء الكمومية التي تمنحنا إمكانية تخزين المعلومات في "الكيوبت" بدلًا من "البت"، الموضوع معقّد لكنّ نتيجته أنّ الحاسوب الكمومي يستطيع إنجاز ما ينجزه الحاسوب التقليدي الخارق خلال آلاف السنين من العمل المتواصل في عدة دقائق فقط.

ما هو بيت القصيد هنا؟ إنّ العلماء يسخّرون مفاهيم فيزيائية "تحت ذرّية" تُدرس ضمن الفيزياء ما دون الذرية أو الفيزياء النووية (بالمناسبة يشكّ في وجودها شريحة لا بأس بعددها من الناس) وهذه المفاهيم والجسيمات تكلّف ملايين الدولارات من أجل رصدها ودراستها، لكن يُستعان بالرياضيات في دراستها والاستفادة منها ضمن ما يُسمى اليوم "الفيزياء النظرية" التي تعتمد بدلًا من المخابر في اختبار وتجريب الفرضيات والوصول إلى نظريات معتمدة تعتمد على الكائنات الرياضية، حيث وفّرت الرياضيات مثلًا فضاء بأحد عشر بعدًا مناسب لتطبيق نظرية الأوتار الفائقة بدلًا من الأبعاد الثلاثة المتوفرة بين أيدينا (حتى البعد الرابع الزمن هو كائن رياضي).

فالصعوبة الثالثة هي حجم الرياضيات الهائل الذي لا يمكن الإحاطة به.

الحدثان المستقلان

حدثان لا يؤثر وقوع أحدها على احتمال وقوع الآخر

مثال: راميان يرميان على هدف

احتمال اصابة الرامي الأول للهدف 25%

احتمال إصابة الرامي الثاني للهدف 50%

لكن سواء أصاب الأول الهدف أم لم يصبه فإنّ احتمال إصابة الثاني للهدف لن يتغير وكذلك العكس

هذان حدثان مستقلان

الحدثان غير المستقلين

حدثان يؤثر وقوع أحدهما في احتمال وقوع الآخر

مثال: رمي حجر نرد

احتمال الحصول على عدد زوجي 50%

احتمال الحصول على عدد أولي 50%

احتمال الحصول على عدد فردي 50%

الأحداث السابقة غير مستقلّة لأن وقوع أحدها سيوثّر في الأخرى

مثلا لو حصلنا على عدد زوجي فلن نحصل على عدد فردي أو الحصول على عدد أولي فيه تداخل مع العدد الزوجي ومع العدد الفردي

الحدثان المتنافيان

هما حدثان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر

مثال: رمي قطعة نقود

الحصول على وجه كتابة يعني دومًا أنه لن نحصل على وجه الشعار والعكس صحيح

الحدثان (كتابة) و (شعار) حدثان متنافيان

مثال آخر: في رمي حجر نرد

الحصول على عدد زوجي ينافي الحصول على عدد فردي

أي حدثان يستحيل أن يقعا معًا

بينما الحدثان غير المستقلين يمكن أن يقعا معًا

يمكنني الاستعانة بمخطط بسيط لتوضيح الفرق بين هذه الأحداث

لاحظ في الحالة الأولى لا يوجد خط أحمر يجمع الحدثين معًا، وأقصد بالخطّ الأحمر مجموعة فضاء العينة، فهنا يمكن أن يكون الحدثان أي حدثين لا علاقة لهما ببعض، مثل حدث هطول المطر وحدث ربح أنس في اليانصيب.

في الحالة الثانية كلّ من الحدثين موجود ضمن إطار أحمر وهو فضاء العينة الشامل مثل المثال المذكور أعلاه عن حجر النرد.

في الحالة الثالثة الحدثان يشكلان بمجموعهما كلّ فضاء العينة، مثل حدث هطول مطر وحدث عدم هطول مطر، كلاهما يشكلان جميع الحالات الممكنة فلا يمكن أن نحصل على حدث لا يتحقق فيه لا الهطول ولا عدم الهطول، وكذلك لا يمكن تحقق الحدثان معًا.

نستفيد من الأحداث المتنافية في حساب احتمالات أحداث صعبة الحساب، مثل مسألة عيد الميلاد.

إنّ هذا السؤال يكافئ السؤال التالي: “لو حذفنا الرياضيات البحتة من عالمنا، هل ستستمرّ الحياة بشكلٍ طبيعيّ؟”.

لو أردنا الإجابة بكلمة واحدة، فالإجابة لا، لن تستمرّ الحياة كما نعرفها اليوم بدون الرياضيّات البحتة، بل يمكننا طرح أسئلة مشابهة مثل: ما أهمّيّة علم الفلك والتنقيب عن الآثار ورقص الباليه وتربية قطّة في المنزل.. إلخ؟ ما أهمّيّة كلّ هذه الأشياء؟ وهل ستتوقّف الحياة بدونها؟

في الحقيقة إنّ العالم الذي نراه ونعيش فيه اليوم هو نِتاج كلّ هذه العلوم والفنون والأشياء التي قد تراها تافهةً، ولو غاب عنه عنصرٌ واحد فربما لم نكن نجلس في مكاننا اليوم ونقرأ هذه السطور، أو العكس تمامًا ربّما سنكون في عالمٍ أكثر تطوّرًا وازدهارًا ممّا عليه الآن، لكن مع ذلك فإنّ للرياضيّات البحتة حصّة الأسد من التأثير في كافّة العلوم التي ستؤثّر بدورها على نمط حياتنا.

تُعدّ الرياضيّات أقدم وأضخم صرحٍ علميّ شيّده الفكر البشريّ، وتعتمد كلّ العلوم كالطبّ والهندسة وعلم النفس والديكور والبرمجة والفن والموسيقا والسياسة والاقتصاد، تعتمد جميعها على الرياضيات بنسبٍ متفاوتة، والفلسفة هي الاستثناء الوحيد.

ما هو تعريف الرياضيات؟

يمكن تعريف الرياضيات بإنها “دراسة الأنماط”، بينما يمكن تعريف العلم بأنّه “دراسة الأنماط في الطبيعة”، ومنذ نشأة الوعي البشري، كنّا نستخدم التفكير لتحسين حياتنا، وهذا التفكير كان يقودنا في كلّ مرة لابتكار علمٍ جديد، ولولا الرياضيات البحتة أي علم دراسة الأنماط لن تكون لدينا القدرة على التفكير بالأنماط!

لكن لماذا الأنماط على هذه الدرجة من الأهمّيّة؟ ببساطة لأنّها تسمح لنا بنمذجة الكون من حولنا، انظر من حولك، كلّ التصنيفات والتعريفات التي تعلّمتها في حياتك تعتمد على اكتشاف النمط ثمّ وضع التعريف، ثم تعميم هذا التعريف.

في البداية كان الظلام، ثمّ أتى النور، عاد مرّةً أخرى الظلام، وتبعه النور، حسنًا يمكننا الآن توقّع الحدث القادم وهو الظلام، ولا حاجة للانتظار لنرى هذه النتيجة، فقد اكتشفنا النمط، ونتيجة اكتشافنا لهذا النمط البسيط أصبح بإمكاننا استخدام وقتنا بشكلٍ فعّالٍ، وبتنا ننظّم أعمالنا لتتناسب مع هذا النمط.

ما هي مجالات الرياضيات البحتة؟

تدرس الرياضيات البحتة أيضًا مفاهيم رياضية مجرّدة، أي أنها غير ملموسة ولا يمكن رؤيتها، ولا يوجد تطبيق مباشر لها اليوم، فإذا كان الوجه الأول للرياضيات هو الرياضيات التطبيقية، فإنّ الوجه الثاني الذي لا يقلّ أهمّية هو الرياضيات البحتة، ويمكن القول باختصار هي الرياضيات من أجل الرياضيات.

من مجالات الرياضيات البحتة: المنطق ومنها المنطق التجريدي وجبر المنطق (جبر بول) وجبر الأعداد الحقيقية والجبر التجريدي، والتبولوجيا، والتحليل العقدي والتحليل العددي، ونظرية الأعداد ونظرية القياس…

لكن كثير من أقسام الرياضيات البحتة تجد طريقها في يومٍ ما للتطبيقات العملية، وهذا بالفعل ما حدث مع فروع الهندسة الإقليدية (نسبة إلى إقليدس) وهندسة لوباتشفسكي وهندسة ريمان والتحليل الحقيقي والتحليل العقدي ونظرية الألعاب وجبر المنطق…

لذا فإنّ الرياضياتيين يبدأون بفكرة رياضية شديدة التجريد ويتوسّعون بها، ويبنون عليها، وبعد سنوات قد تصل لمئات السنوات لا بدّ لأحد العلوم التطبيقية خاصّة الفيزياء والمعلوماتية من الاستفادة منها.

ولأزيدكم من الشعر بيتًا فإنّ الفيزياء النظرية اليوم تسير على خُطى الرياضيّات البحتة، مثلًا نظريّة الأوتار، وهي أشهر نظريّة فيزيائيّة يجري العمل عليها، إنّ هذه النظريّة تعتمد اعتمادًا كليًّا على الرياضيّات، ليست أيّة رياضيات، بل الرياضيات البحتة، فهي المنظومة الوحيدة التي تستطيع استيعاب الأبعاد الأحد عشر التي تلزم النظرية، كمان أنّها تقدّم فضاءاتٍ وبنىً يمكن المراوحة فيها واختبار الفرضيّات ونقضها أو إثباتها.

هل نحن بحاجة للرياضيات البحتة حقًا؟

لكن قد يتبادر للذهن السؤال التالي: لنسلّم بأنّ الرياضيّات البحتة تجد في النهاية تطبيقاتٍ مناسبة، إذن لماذا يعمل العلماء عليها قبل وجود الحاجة لها؟ أليس في هذا هدرٌ للجهود؟

جميعنا متّفقون أنّ هناك من يمارس الفنّ من أجل الفنّ، أو الرياضة من أجل المتعة، وليس بالضرورة أن يكون الفنان أو الرياضي محترفًا أي يكسب مالًا من حرفة الفن وحرفة الرياضة، فلماذا نسلب هذا الحقّ من علماء الرياضيّات؟

بالمناسبة فإنّ بعض التعريفات وتصنيفات العلوم تضع الرياضيات في خانة الفنون وليس العلوم وهو أمرٌ جدير بالنظر خصوصًا إن علمنا أنّ الرياضيّات غير قابلة للنقض، وهذا يفقدها واحدًا من أهمّ صفات العلوم وأقصد قابلية النقض، حتّى أنّ الإمام الغزالي قال “إنّ البراهين الرياضيّة لا سبيل لمعارضتها”.

في النهاية، إنّ دراسة الرياضيات البحتة تشبه زراعة مئة بذرة، والعناية بها لتنمو وتنضج، لكن القليل منها فقط سيصبح ثمارًا مفيدة للأكل، بينما البقية لن تُنتج إلا بذورًا أخرى، نعود ونزرعها في موسمٍ تالٍ لنحصل على جيلٍ جديد من الثمار اللذيذة، وبذورًا أخرى، وفي كلّ دورة سنرى ثمارًا أكثر نضارةً وأشدّ حلاوة وبذورًا أخرى تتابع المسيرة.

يبدو هذا طريقًا شائكًا أو مظلمًا على الأقلّ، فمن ذا الذي سيزرع بذورًا يأكل ربعها فقط؟ إنّه المزارع الذي يستمتع بعمله، وكذلك الرياضيّات البحتة، هناك علماء يستمتعون بدراستها، يقع على عاتقهم عبء رعاية بذور الرياضيات البحتة لإيصالها للأجيال اللاحقة، دون أن ينسوا نصيبهم من المتعة والترفيه، وأنا شخصيًا سأكون في أعلى درجات السعادة لو اكتشفتُ عددًا جديدًا من “أعداد ميرسين” أو “أعداد ثابت” مع علمي بأنّ فائدة هذه الأعداد تكاد تكون معدومة.

أخيرًا وبالرغم من أنّ أحد الأساليب التي استخدمتها في شرح قيمة الرياضيات البحتة كان تقليديًا وهو البحث عن الفوائد العملية للرياضيات البحتة والبرهان على أنّ مسحها من قائمة العلوم سيغيّر شكل العالم، إلا أنّي أميل لاعتبار الرياضيات –والبحتة خصوصًا– هي جزء أساسي من الكون وكانت موجودة على الدوام حتى قبل وجود الكون بخلاف الفيزياء التي لم ترَ النور إلا بعدما وُجد الكون نفسه، ولهذا سأناقش مسألة “هل الرياضيات اختراع أم اكتشاف؟” في مقالٍ لاحق.

نُشر هذا المقال في أراجيك بتاريخ 18.05.2020

هل الأشعة مفهوم رياضي أَم فيزيائي؟

الأشّعة أو المتجهات Vectors

هي كائنات رياضية تُستخدم في الفيزياء بشكل واسع لتمثيل الكميات التي تملك "جهة". [1]

لنرجع قليلًا لقياس الكميات بشكل عام.

يمكن التعبير عن الكميات (عدد الأشجار، المسافة بين حائطين، كتلة القمر، مقاومة التيار الكهربائي ..الخ) بالأعداد كما هو معروف وواضح.

لكن هناك بعض الكميات التي تملك صفة إضافية مرافقة للعدد وهذه الصفة مميزة بشدة بحيث يمكن أن تتغيّر الكمية التي نتكلم عنها تمامًا إذا تغيّرت هذه الصفة، وهي "الاتجاه" وكي نعبّر عن تلك الكميات بكائن أو وصف رياضي واحد نستخدم الشعاع (أو المتجه)، وفي الحوار اليومي نسمع كثيرًا عبارات "تحرّك خطوتين لليمين" أو "أزح المقعد عشرة سنتيمترات للأمام" ولو قال أحدهم "تحرك خطوتين" فقط لن يكون لهذه العبارة معنى فهناك عدد لانهائي من الخيارات لتنفيذ هذا الأمر، بينما عندما قُرنت العبارة باتجاه أصبحت ذات معنى، وهذا بالضبط ما تفعله الأشعة.

لماذا قد يظنّ البعض أنّ الأشعة هي كائنات فيزيائية؟

تشكل دراسة الأشعة جزءًا لا يتجزّأ من الرياضيّات لكنها تمتلك تطبيقات هائلة في الفيزياء، فالأشعة رغم أنّها ذات طبيعة رياضية ولا يمكن دراستها والاستفادة منها إلا بعد تحقيق مستوى لا بأس به من إتقان الرياضيات إلا أنّ تطبيقاتها في الغالب في فروع علمية أخرى أشهرها الفيزياء خاصّة في دراسة القوى والحقول بشكل عام (الحقل المغناطيسي والحقل الكهربائي وحقل الجاذبية) والأمواج ..الخ، لكن ليست الفيزياء وحدها من استعارت الأشعة من الرياضيات، فأهمّ الحقول التي تسخدم الأشعة هي الجرافيكس بكل أنواعها من صور إلى فيديو وحتى الألعاب المعقدة، حتى إنّ واحدة من صيغ ملفات الصور تسمى Vector وهو نوع ملفات مستخدم كثيرًا في عالم التصميم والألوان.

هناك تطبيقات لا حصر لها للأشعة، ويكفي أن نعلم أنّ كلّ حركة يمكن التعبير عنها بشعاع، من حركة السيارات إلى حركة المكوك الفضائي.

تحميل منهاج الصف التاسع الأساسي السوري الحديث 2020

تحميل منهج الصف التاسع السوري مناهج النظام الجديدة المطور

تحميل دليل المعلم لمادة الرياضيات تحميل دليل المعلم اللغة العربية PDF

اضغط على عنوان الكتاب لتحميله مباشرة

دليل المعلم مادة الرياضيات الصف التاسع السوري المطور PDF

كتاب الرياضيات الهندسة الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب الرياضيات الجبر الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب الفيزياء والكيمياء الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب العلوم الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب اللغة العربية الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب تكنولوجيا المعلومات الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب دليل المعلم تكنولوجيا المعلومات الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب التاريخ الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب الجغرافيا الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب المدرس التاريخ الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب المدرس العلوم الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب التربية الإسلامية الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب المدرس التربية الإسلامية الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب اللغة الفرنسية الطالب الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب اللغة الفرنسية الأنشطة الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب المدرس اللغة الفرنسية الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

ملفات الصوت اللغة الفرنسية الصف التاسع السوري المطور 2020

كتاب اللغة الإنكليزية الطالب الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

كتاب اللغة الإنكليزية الأنشطة الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

اقرأ أيضًا منهاج الصف التاسع الأساسي السوري الجديد والقديم pdf

ملفات الصوت اللغة الإنكليزية كتاب الطالب 1 الصف التاسع السوري المطور 2020

ملفات الصوت اللغة الإنكليزية كتاب الطالب 2 الصف التاسع السوري المطور 2020

ملفات الصوت اللغة الإنكليزية كتاب الأنشطة 1 الصف التاسع السوري المطور 2020

ملفات الصوت اللغة الإنكليزية كتاب الأنشطة 2 الصف التاسع السوري المطور 2020

كتاب اللغة الروسية الصف التاسع السوري المطور 2020 PDF

فيما يلي روابط مباشرة لتحميل الكتابين بصيغة pdf

كما أنّنا أرفقنا رابطي كتابي الجبر والهندسة للمنهج القديم والذي كان قد صدر في عام 2013

كتاب الهندسة الحديث 2018 المنهج السوري https://goo.gl/SRSHGA

كتاب الجبر الحديث 2018 المنهج السوري https://goo.gl/EyrsuP

كتاب الرياضيات الهندسة السوري القديم 2013 https://goo.gl/UbHqhZ

كتاب الرياضيات الجبر السوري القديم 2013 https://goo.gl/EyrsuP

اقرأ أيضًا منهاج الرياضيات العاشر السوري المطور 2018

اقرأ أيضًا منهاج اللغة العربية الصف الأول الائتلاف السوري

اقرأ أيضًا كتب الصف التاسع السوري المطور 2019-2020