اشتراك كاسبر
المنطق

جبر المنطق

عبد المنعم حور

في سنة 1847 قام عالم الرياضيات جورج بول بنشر كتاب تحت اسم “ التحليل الرياضي للمنطق  ” أو ” The Mathematical Analysis of Logic “واضعاً فيه الأساس الأول لما يعرف بـ الجبر البولياني (نسبة للعالم) أو الرياضيات المنطقية ( كما أحب أن أدعوها أنا ). سأقوم في هذا المقال بشرح أساسيات هذا النوع من الرياضيات. لكن لتعلم أولاً أن الحواسيب لما كانت وجدت أبداً لولا هذا الاستقراء الرياضي للمنطق, وكذلك الهواتف الذكية وكثير من الأجهزة الإلكترونية والأنظمة المتطورة التي تعتمد على معالجة المعلومات الرقمية بشتى انواعها.

الرياضيات المنطقية تتمحور حول قيمتين فقط, هما “نعم” و “لا” , أو “صح” و “خطأ” , أو بالنسبة للحاسبات فهما 0 و 1. فالرياضيات المنطقية تقوم بحسابات من نوع خاص, لتحديد جواب إما بنعم (1) وإما بـ لا (0). والحواسيب مبنية على هذه الفكرة. فالحاسوب المتطور يقوم بحل ملايين إن لم يكن المليارات من العمليات المنطقية في الثانية الواحدة ليكون سلاسل من الواحدات والأصفار التي تمثل معاً معلومات تهمنا, كنص أو صورة أو أي شيء يمكن أن يخطر على بالك. ليتم عرضها أو معالجتها أو إرسالها حسب حاجة المستخدم.

لكن الآن دعونا لا نخرج عن موضوعنا الرئيسي وهو أساسيات الرياضيات المنطقية. في الرياضيات المنطقية لا يوجد أعداد مثل الرياضيات العادية. فكما قلنا أن الرياضيات المنطقية تهتم فقط بقيمتين منطقيتين لا ثالث لهما وهما “الصح” و “الخطأ” أو 1 و 0. لذا عند قراءتك لإحدى هذين العددين ضمن سياق الرياضيات المنطقية فتذكر أنهما لا يعنيان العدد واحد والعدد صفر. وإنما يعنيان القيمة المنطقية “صح” والقيمة المنطقية “خطأ”. وكما أن الرياضيات العاديّة تتضمن على عمليات حسابية أساسية وهم “الجمع” و “الطرح” وأيضا “الضرب” و “القسمة”. فإنه في الرياضيات المنطقية يوجد ثلاث عمليات منطقية أساسية وهم:

  • عملية الاتصال Conjunction ويرمز لها بـ AND أو ∧.
  • عملية الانفصال Disjunction ويرمز لها بـ OR أو .
  • عملية النفي Negation ويرمز لها بـ NOT أو ¬.

قد تختلف رموز العمليات الثلاث من مصدر لآخر, مثلا عملية الإتصال في الكتب العربية يرمز لها بحرف واو العطف (و) عوضاً عن AND كما أنها تسمى أحياناً بـ الضرب المنطقي. ويرمز أيضاً لعملية الإنفصال بـ (أو) عوضا عن OR وتسمى أحياناً بـ الجمع المنطقي. وأما بالنسبة لعملية النفي فيرمز لها بـ (ليس) عوضا عن NOT. وحتى أن بعض الكتب يرمزون للعمليات المنطقية بنفس رموز العمليات الحسابية التي اعتدنا عليها مثل علامة × للضرب و + للجمع. وبرغم الاختلافات بالترميز إلا أن العمليات متطابقة. وكما أنني لا أفضّل الإشارة لهذه العمليات بكلمات ورموز مرتبطة مع عمليات الرياضيات العادية. لأنها تسبب ارتباكاً كبيراً عند محاولة فهم هذه العمليات. فمثلا عملية الاتصال AND تختلف اختلافاً جذرياً مع عملية الضرب الحسابي, لذلك فإني لا أفضّل اطلاق اسم الضرب المنطقي على هذه العملية, ونفس الشيء بالنسبة لعملية الانفصال OR.

الآن سأقوم بشرح كل عملية على حدة. بالنسبة لي , فأنا أرى أن عمليات الرياضيات المنطقية أسهل من عمليات الرياضيات العادية كالضرب والقسمة والجمع. وأتمنى أن تشاركوني هذا الرأي عند انتهائكم من قراءة المقال, حتى يكون بإمكانكم فهم العمليات بسهولة. سأقوم بشرح العمليات بشكل سهل أولا ثم سأعطي مثال عن كل عملية.

أود أولاً أن أوضح أن العمليات المنطقية تجرى على متغيرات تحمل قيم. تماماً مثلا العمليات الحسابية التقليدية. فمثلا نحن نقوم بحل 2+3=5 أو 4×2=8 . وبنفس الطريقة نجري العمليات المنطقية بنفس الشكل ونحصل منها على حل ونتيجة .

عملية الاتصال AND

نبدأ مع عملية الاتصال AND , أو بالعربيّة عمليّة (و). هذه العملية تعطي القيمة “1” عندما تكون جميع القيم المنطقية للمتغيرا تحمل القيمة “1”. فباختصار هذه العملية تقوم توجيه السؤال التالي: هل x و y كلاهما يحملان القيمة “1” ؟ , فعملية الاتصال تقوم بتوجيه السؤال السابق واجابته تكون هي ناتج العملية. ونلاحظ حرف الواو في السؤال ومن هنا أتى الرمز بحرف واو العطف على هذه العملية.

جدول توضيحي لعملية الاتصال AND

X Y X AND Y هل x و y يساويان 1؟
0 0 0 لا
0 1 0 لا
1 1 1 نعم
1 0 0 لا

عملية الانفصال OR

عملية الانفصال OR , يرمز لها بالعربيّة بحرف “أو”. هذه العملية تعطي الناتج “1” عندما يكون أحد المتغيرات يحمل القيمة “1”. فعملية الاتصال تتمثل في السؤال التالي: هل x أو y يحمل القيمة “1”؟ وجواب هذا السؤال سيكون هو ناتج هذه العملية. وكما أشرت إلى حرف واو العطف في عملية الاتصال , فإني أيضا أشير إلى حرف “أو” في السؤال, الذي يوضح معنى الرمز “أو” لهذه العملية.

جدول توضيحي لعملية الانفصال OR

X Y X OR Y هل x أو y يساوي 1؟
0 0 0 لا
0 1 1 نعم
1 1 1 نعم
1 0 1 نعم

لاحظوا من خلال الجدول الاختلاف بين العمليتين , فعملية الاتصال تعطي القيمة “1” عندما يكون x و y كلاهما “1”. أما عملية الانفصال تعطي القيمة “1” عندما يكون واحد أو أكثر من المتغيرات يحمل القيمة “1”.

عملية النفي NOT

عملية النفي NOT , وبالعربيّة “ليس”. هي أبسط العمليات الثلاث, فهي تقوم ببساطة بعكس القيمة المنطقية , أي إذا قلنا ليس “1” فالجواب هو صفر”0″ وإذا قلنا ليس”0″ فالجواب هو “1”. هذه العملية تختلف عن العمليات السابقة أنها تجرى على متغير واحد فقط.

جدول توضيحي لعملية النفي NOT

X NOT X ليس X
1 0 لا
0 1 نعم

زر الذهاب إلى الأعلى