ما هو العدد المثالي؟

العدد المثالي هو العدد الصحيح الموجب الذي يساوي مجموع قواسمه عدا نفسه. وأصغر عدد مثالي معروف هو العدد 6 وقواسمه هي (1،2،3،6) إذا جمعنا القواسم عدا (6) سينتج 1+2+3=6

الأعداد المثالية قليلة ومتباعدة جدًّا، مثلًا الأعداد المثالية التالية هي 28، ثم 496، ثمّ 8128، ثمّ 33550336، والعدد التالي مؤلّف من تسعة منازل!

قصّة الأعداد المثاليّة

عرِف اليونانيون القدماء أمثال فيثاغورس وإقليدس الأعداد المثاليّة لكنهم لم يكتشفوا سوى أوّل أربعةٍ منها، كما أوجد إقليدس صيغةً عامّة تربط بين الأعداد المثاليّة والأعداد الأوليّة (ليس أيّ عددٍ أوّلي، بل أعداد ميرسين كما ستُعرَف لاحقًا)، الصيغة هي:

درَس فيثاغورس وتلاميذه الأعداد المثاليّة لإيمانهم بأنّها تشمل على خصائص روحيّة فريدة، حيث اعتبر بعضهم أنّ الأعداد التي تزيد عن مجموع قواسمها أعداد شرِهة وتشبه مخلوقاتٍ لديها عدّة أفواه، أمّا الأعداد التي تنقص عن مجموع قواسمها فهي أعداد ناقصة ومشوّهة، وبالتالي فالأعداد التي تساوي مجموع قواسمها هي الأعداد المثاليّة، وارتبط العدد 28 (العدد المثاليّ الثاني) بدورة القمر والشهر القمريّ من وجهة نظرهم.

فيما بعد ازداد تقدير هذه الأعداد لدرجة أنّ القدّيس أوغوستين قال

إنّ الله خلق الكون في ستّة أيّام لأنّ العدد ستة عدد مثالي، وليس العكس أي لم يصبح العدد ستّة مثالي لأنّ الله خلق الكون في ستّة أيّام!

برهن أويلر العلاقة التي وضعها إقليدس بعد ألفي عام من وفاته، وهذا يدلّ على صعوبة العمل على هذه المجموعة الفريدة، لكن هذا لم يمنع العلماء من اكتشاف صيغ أخرى للأعداد المثاليّة، فقد توصّلوا لصيغة جميلة تعتمد على العدد المثلّثي وهي:

حيث P هو العدد المثالي، وT هو العدد المثلثي، والأعداد n,j أعداد صحيحة موجبة.

قد يعجبك أيضًا اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة

كما بُرهِن أيضًا على أنّ جميع الأعداد المثاليّة هي أعداد مسدّسة، مع الانتباه إلى أنّه ليس كلّ عدد مثلّثي أو عدد مسدّسي هو عدد مثالي بالضرورة.

أعداد ميرسين الأوليّة

من الطريف أنّ الأعداد المثاليّة التي يعتمد تعريفها على قواسمها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة من الأعداد الأوّليّة تُدعى أعداد ميرسين وهي أعدادٌ قليلة أيضًا ويبلغ عددها 51 عددًا، وهي الأعداد التي تُكتب بالصيغة التالية:

وعلى العموم كلّما اكتُشِف عدد أوّلي من أعداد ميرسين سيرافقه اكتشاف عدد مثالي جديد، لذلك فإنّ العمل على أعداد ميرسين أكثر جاذبيّة للباحثين، وهذا ما تفعله مجموعة GIMPS المختصّة بالبحث عن أعداد ميريسن الأولية الضخمة عبر تسخير جهود الباحثين الهواة وقدرات حواسيبهم عبر الإنترنت.

لماذا أعداد ميرسين؟

قد يتساءل البعض لماذا تعمل مجموعة كبيرة من الباحثين عبر الإنترنت على أعداد ميرسين بالذات؟
توجد عدّة أسباب، أوّلاً كما لاحظنا فإنّ أعداد ميرسين ستقودنا للأعداد المثاليّة، كما أنها أعداد أوّليّة بكلّ الأحوال، لذا فإنّ من يكتشف عددًا جديدًا سيُسجّل اسمه في قائمتين لا تحويان عددًا كبيرًا من الأسماء (أقلّ من 50 اسمًا حتى تاريخ كتابة هذا المقال) كما أنّ الطريق الأسرع للوصول للأعداد المثالية هو عن طريق أعداد ميرسين، لأنّ الميّزات الأخرى للأعداد المثاليّة لا تشكّل علامة فارقة كما تفعل أعداد ميرسين، فحيث إنّ كلّ عدد ميرسين جديد سيؤدّي حتمًا لعدد مثالي فإنّ الأعداد المثلثيّة أو الأعداد المسدّسة لن تفعل ذلك، أمّا طريقة جمع القواسم فهي تكاد تكون مستحيلة بعد الوصول لأكثر من 49 مليون خانة، وهي طريقة جيّدة لاختبار قدرات الحواسيب الجديدة!

اقرأ أيضًا سبب تقسيم اليوم إلى 24 ساعة والساعة إلى 60 دقيقة

ما هي الفائدة العمليّة من الأعداد المثاليّة؟

في الحقيقة لا توجد فائدة مباشرة منها، والرياضيّات عمومًا لا تعمل بهذه الطريقة، أي إنّ العلماء لا يبدأون العمل على المسائل من أجل فائدتها، بل من أجل المتعة، ثمّ يجدون لها تطبيقات فيما بعد، وبالنسبة للأعداد المثاليّة فهي أعداد جميلة وتتمتّع بخواصّ مغرية للعمل عليها كما أنّها تُعدّ صالحة حتّى الآن للبحث في مسائل غير محلولة، مثل البرهان على أنّ الأعداد المثاليّة منتهية أو غير منتهية، وكذلك هل الأعداد المثاليّة زوجيّة دومًا؟

اقرأ أيضًا الوجه الممتع من الرياضيات: أعداد أولية تتمتع بمزايا مدهشة

رغم أنّ جميع الأعداد المثاليّة المكتشفة حتى الآن والبالغ عددها 51 عددًا، جميعها زوجيّة بل إنّها جميعًا تنتهي بالرقم (6) أو الرقم (8) وهذا يقابل في نظام العدّ الثنائي إمّا (0) أو (00)، رغم ذلك إلا أنّ الرياضيّين يفضّلون البراهين النظريّة الأكثر موثوقيّة حتى لو كانت أصعب، وحتّى ذاك الحين ستُدعى هذه الخواصّ في أفضل الأحوال "حدسيّات".

نُشر هذا المقال في المحطة بتاريخ 27 شباط 2019

حالَف الحظّ أحد متطوّعي فريق بحثي يُسمّى GIMPS وهي اختصارات لجملة Great Internet Mersenne Prime Search أي المشروع العالمي للبحث عن أعداد ميرسين الأولية عبر الإنترنت، باكتشافٍ كبير جدًا يندرج ضمن فرع نظريّة الأعداد في الرياضيّات.

وللاسم ميرسين قصّة أخرى، سنذكرها لاحقًا، أمّا عن المشروع، فقد أطلقه جورج ولتمان في عام 1996 ويهدف لإصابة عصفورين بحجرٍ واحد، الأوّل اختبار قدرات الحواسيب، والثاني اكتشاف أعداد أوّليّة جديدة، وبما أنّ البحث عن الأعداد الأوّليّة الجديدة عملًا صعبًا للغاية، وهو يتمّ بواسطة الحواسيب على أيّة حال لأنّها وصلت لعدد منازل هائل جدًّا، لكن أصبحت عمليّة البحث واختبار الأعداد صعبة حتى على أقوى الحواسيب، لذلك أتت فكرة إطلاق هذا المشروع التعاوني عبر الإنترنت بحيث يمكن لأي شخص أن يحمّل البرنامج الخاصّ بفحص الأعداد واختبارها فيما إذا كانت أوّليّة أمْ لا، وبذلك يستطيع اختبار قدرة حاسوبه إضافةً لتزويد مشروع ميرسين بنتيجة البحث من أجل أن يستمرّ بقيّة متطوّعي العالم بالبحث.

عددنا الأوّلي الجديد الذي يُكتَب بشكلٍ مختصر بالشكل:

 2^82,589,933-1

يتألّف من 24،862،048 رقم (خانة) وهو يزيد بحوالي مليون ونصف المليون خانة عن العدد السابق الذي اكتِشف في العام 2017.

لكن ما يميّز هذا العدد والذي يحمل رمز M82589933 ليس بأنّه أكبر عدد أوّلي مُكتَشَف حتّى الآن، بل بأنّه ينتمي لمجموعة أعداد ميرسين الأوّليّة وهي مجموعة خاصّة من الأعداد الأولية كانت تحوي 50 عددًا فقط، والآن أصبحت تحوي 51 عددًا.

أعداد ميرسين

درس هذه الأعداد إقليدس (عاش 300 قبل الميلاد) لكنها لم تكتسب اسمها هذا إلا في القرن السادس عشر بواسطة الراهب الفرنسي مارين ميرسين، الذي درسها بتوسّع أكثر، ولهذه الأعداد علاقة مباشرة مع الأعداد المثاليّة perfect number وقد عمل عليها الرياضي السويسري ليونارد أولر.

عدد ميرسين هو كلّ عدد أولي يُكتَب بالشكل

 2^P-1

أي أنّه يُكتَب بشكل قوّة للعدد (2) مطروحًا من الناتج (1)، ويُعتَقَد بأنّ عدد أعداد ميرسين لانهائي لكن قائمة أعداد ميرسين تضمّ حتّى اللحظة 51 عددًا فقط.

ترافق مع اكتشاف العدد الأوّلي المذكور أعلاه، اكتشاف عدد مثالي جديد مؤلّف من 49 مليون خانة هو:

سأتكلّم في مقالٍ منفصل عن الأعداد المثاليّة، لكن باختصار العدد المثالي هو العدد الذي يساوي مجموع قواسمه عدا نفسه، مثلًا قواسم العدد 6 هي (1,2,3) ومجموع هذه القواسم يساوي (6) إذًا العدد (6) عدد مثالي.

يُقدِّم فريق المتطوّعين للبحث عن أعداد ميرسين جائزة ماليّة لمن يكتشف عددًا جديدًا وقد كانت الجائزة الأخيرة من نصيب المحظوظ Patrick Laroche وهو محظوظ لأنّه جرّب أربع محاولات فقط قبل أن يصل لهذا الاكتشاف، في الحقيقة فإنّ احتمال ربح الجائزة الكبرى في اليانصيب أكبر من احتمال اكتشاف عدد ميرسين جديد.

نُشرت هذه المقالة في المحطة بتاريخ 28-12-2018