لا

الرياضيات أضخم وأعمق بكثير مما يمكن تصوّره، وهي ارتباط لكيانات عديدة بشكل متسلسل، هرمي تارةً وشجري تارة أخرى.

في يومين لدينا 48 ساعة نصفها نوم واستراحات يبقى 24 ساعة، في 24 ساعة يمكنك أن تصبح جيدًا في عدة مواضيع لا أكثر وليس في الرياضيات كلها، وأنا حين أقول الرياضيات كلها لا أقصد الرياضيات كلها على الإطلاق، لكن أقصد ما يمثّل كل الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي أو حتى طالب جامعي.

الرياضيات بالنسبة لطالب ابتدائي هي: العدّ والعمليات الحسابية الأربعة والكسور والتعرف على الأشكال الهندسية والزوايا وحساب الوقت وحساب المعدل.

الرياضيات بالنسبة لطالب إعدادي هي: كل ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة المستوية وصولًا إلى نظرية فيثاغورس وحساب مساحات الأشكال الهندسية الشهيرة، ومبادئ في الإحصاء بما فيها رسم المخططات البيانية، ومبادئ الاحتمالات، وحلّ المعادلات من الدرجة الثانية، وحلّ جمل المعادلات بمجهولين ورسم الخط البياني للتوابع البسيطة، والتوسع في الكسور والتناسب.

الرياضيات بالنسبة لطالب ثانوي هي: كلّ ما سبق إضافة إلى مبادئ في الهندسة الفراغية وحساب مساحات وحجوم المجسّمات الأساسية، مبادئ في الأعداد العقدية والعمليات عليها، مبادئ في الاشتقاق والتكامل وتطبيقاتهما، مبادئ في اللوغاريتم، حساب المثلثات والمعادلات المثلثية، مبادئ في النهايات ودراسة تغيرات الدوال، التوسع قليلًا في الاحتمالات والإحصاء ومبادئ العدّ، مبادئ في سلاسل المجاميع والمضاريب.

الآن لنرى ماذا يمكن لطالب أن يفعل في 24 ساعة فعلية

إذا كان الطالب جيدًا بما يكفي لاستيعاب المواضيع وربطها ببعضها والبناء عليها بسرعة دون الحاجة لحلّ مئات الأمثلة والاكتفاء ببضعة أمثلة لكلّ فكرة فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الابتدائية، وإن افترضنا أن الطالب في الإعدادية وكان متقنًا لكلّ ما درسه في الابتدائية فإنّه يستطيع إتقان نصف موضوعات الرياضيات الإعدادية أيضًا.

أمّا موضوعات الثانوية فإنّه حتى لو كان متقنًا لكلّ ما درسه في الإعدادية فإنّه لن يستطيع خلال هذا الوقت إتقان أكثر من ربعها.

وأكرّر: ضمن ظروف عديدة أهمها قدرة الطالب على الاستيعاب السريع والبناء المتسلسل للموضوعات التتالية، مع العلم أنّ العديد من المواضيع ليس هرمية بل هي شجرية، مثلًا من أجل دراسة تحولات تابع يجب إتقان عدة أمور مثل الاشتقاق والنهايات وهذين موضوعين منفصلين يلتقيان في دراسة التحولات.

الحدثان المستقلان

حدثان لا يؤثر وقوع أحدها على احتمال وقوع الآخر

مثال: راميان يرميان على هدف

احتمال اصابة الرامي الأول للهدف 25%

احتمال إصابة الرامي الثاني للهدف 50%

لكن سواء أصاب الأول الهدف أم لم يصبه فإنّ احتمال إصابة الثاني للهدف لن يتغير وكذلك العكس

هذان حدثان مستقلان

الحدثان غير المستقلين

حدثان يؤثر وقوع أحدهما في احتمال وقوع الآخر

مثال: رمي حجر نرد

احتمال الحصول على عدد زوجي 50%

احتمال الحصول على عدد أولي 50%

احتمال الحصول على عدد فردي 50%

الأحداث السابقة غير مستقلّة لأن وقوع أحدها سيوثّر في الأخرى

مثلا لو حصلنا على عدد زوجي فلن نحصل على عدد فردي أو الحصول على عدد أولي فيه تداخل مع العدد الزوجي ومع العدد الفردي

الحدثان المتنافيان

هما حدثان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر

مثال: رمي قطعة نقود

الحصول على وجه كتابة يعني دومًا أنه لن نحصل على وجه الشعار والعكس صحيح

الحدثان (كتابة) و (شعار) حدثان متنافيان

مثال آخر: في رمي حجر نرد

الحصول على عدد زوجي ينافي الحصول على عدد فردي

أي حدثان يستحيل أن يقعا معًا

بينما الحدثان غير المستقلين يمكن أن يقعا معًا

يمكنني الاستعانة بمخطط بسيط لتوضيح الفرق بين هذه الأحداث

لاحظ في الحالة الأولى لا يوجد خط أحمر يجمع الحدثين معًا، وأقصد بالخطّ الأحمر مجموعة فضاء العينة، فهنا يمكن أن يكون الحدثان أي حدثين لا علاقة لهما ببعض، مثل حدث هطول المطر وحدث ربح أنس في اليانصيب.

في الحالة الثانية كلّ من الحدثين موجود ضمن إطار أحمر وهو فضاء العينة الشامل مثل المثال المذكور أعلاه عن حجر النرد.

في الحالة الثالثة الحدثان يشكلان بمجموعهما كلّ فضاء العينة، مثل حدث هطول مطر وحدث عدم هطول مطر، كلاهما يشكلان جميع الحالات الممكنة فلا يمكن أن نحصل على حدث لا يتحقق فيه لا الهطول ولا عدم الهطول، وكذلك لا يمكن تحقق الحدثان معًا.

نستفيد من الأحداث المتنافية في حساب احتمالات أحداث صعبة الحساب، مثل مسألة عيد الميلاد.